Question

como puedo demostra las identidades auxiliares de identidades trigonometricas de angulos compuestos (77puntos)

Answer 1

conociendo las funciones de la suma y diferencia de ángulos, los más importantes son:

$\sin (\alpha \pm\beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha\\ \\ \cos (\alpha \pm\beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha\sin \beta$

$\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1\mp \tan \alpha \tan \beta}$

además de la identidad pitagórica

$\sin^2\theta +\cos^2\theta =1$
=========================================================

Así por ejemplo tenemos
(1)
$\displaystyle \tan 2x=\tan(x+x)=\frac{\tan x+\tan x}{1-\tan x \cdot \tan x}\\ \\ \boxed{\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}}$

(2)
$\sin 2x = \sin(x+x)=\sin x\cos x + \sin x \cos x\\ \\ \boxed{\sin 2x = 2\sin x \cos x}$

(3)
$\cos 2x = \cos(x+x)=\cos x\cos x-\sin x \sin x\\ \\ \boxed{\cos 2x =\cos^2x-\sin^2x}$

(4)
$\sin 3x = \sin (2x+x)\\ \\ \sin 3x = \sin 2x \cos x +\sin x \cos 2x\\ \\ \sin 3x = (2\sin x\cos x) \cos x +\sin x (\cos^2 x-\sin^2x)\\ \\ \sin 3x = 2\sin x\cos^2 x +\sin x (\cos^2 x-\sin^2x)\\ \\ \sin 3x = 2\sin x(1-\sin^2x) +\sin x [(1-\sin^2x)-\sin^2x]\\ \\ \sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x(1-2\sin^2x)\\ \\ \sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3x\\ \\ \boxed{\sin 3x =3\sin x-4\sin^3x}$

Y así