Question

Ingreso máximo. Una empresa fabrica dos tipos de zapatos tenis, tenis para correr y tenis para baloncesto. El ingreso total de x_1 unidades de tenis para correr y x_2 unidades de tenis de baloncesto es R=-5(x_1 )^2-8(x_2 )^2-2x_1 x_2+42x_1+102x_2 , donde x_1y x_2 están en miles de unidades. Hallar las variables que maximizan el ingreso.​

Answer 1

Las variables que maximizan el ingreso son:

x₁ =3

x₂ = 6

Explicación paso a paso:

Datos;

• x₁ unidades de tenis para correr
• x₂ unidades de tenis de baloncesto
• Ingreso total:  R= -5(x₁ )²-8(x₂ )²-2x₁ x₂+42x₁+102x₂

Hallar las variables que maximizan el ingreso.​

Aplicar derivadas parciales;

R' =d/d(x₁,x₂)[ -5(x₁ )²-8(x₂ )²-2x₁ x₂+42x₁+102x₂]

R(x₁,x₂) = -10x₁ -2x₂+42

R(x₁,x₂) = - 16x₂- x₁+102

Igualar a cero:

0= -10x₁ -2x₂+42  ⇒ 10x₁ + 2x₂ = 42

0= - 16x₂-2x₁+102 ⇒ 16x₂ + 2x₁ = 102

Sistema de ecuaciones de 2x2;

Aplicar método de sustitución;

x₁ = 102 - 16x₂ /2

x₁ = 51 - 8x₂

10(51 - 8x₂ ) + 2x₂ = 42

510 -80x₂ + 2x₂ = 42

78x₂ = 468

x₂ = 468/78

x₂ = 6

x₁ = 51 - 8(6)

x₁ =3

Aplicar segunda derivada parcial;

R'(x₁,x₂) = -10

R'(x₁,x₂) = - 16

La segunda derivada implica que la máxima variación del ingreso se da en;

x₁ =3

x₂ = 6

Evaluar;

R= -5(3 )²-8(6 )²-2(3)(6)+42(3)+102(6)

R = 369