Question

Elaborar un organizador sobre las progresiones geométricas.

• Piensa en alguien que no conozca nada de este tema.

•Explica paso a paso qué es el término enésimo y la suma de términos. Describe detalladamente cómo se calculan.

• Describe las propiedades de la progresión geométrica.​

Answer 1

Progresión Geometrica

Es una sucesion de números reales que satisface que la razón entre en cualquier par de terminos consecutivos

Formula: an= a1 . rn-1 an= Término General

a2= a1 . r a1= Valor del Primer T.

a3= a2 . r n= Número de Término

a4= a3 . r r= Razón

a1= 2

a2= 2 . 2=4

a3= 4 . 2=8

a4= 8 . 2=16

Answer 2

Progresiones Geométricas

- ¿Qué son?

    - sus componentes: términos y razón

- ¿Cómo se construye?

- Calculando la razón

-Término general o enésimo

   - conociendo el primer término

   - conociendo un término cualquiera

- Suma de términos

Una progresión es una secuencia o sucesión de términos con un patrón específico.

En el caso de las progresiones geométricas, también llamadas progresiones exponenciales, esta secuencia se logra porque cada término de la misma se obtiene multiplicando el valor del término anterior por una cantidad constante. Este número fijo, por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente, se llama razón.

- Construyendo una progresión

Se puede expresar entonces que, un progresión geométrica es una secuencia de términos,

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...,a_{n}$,

en la que $a_{n}=a_{n-1}*r$,

donde $a_{n}$ es un término cualquiera (diferente al primero),

$a_{n-1}$ es el término anterior a este, y

$r$ es la razón.

Ejem: construyamos la progresión geométrica para un primer término 2 y razón 3

$a_{1}=2\\a_{2}=a_{1}*r=2*3=6\\a_{3}=a_{2}*r=6*3=18\\a_{4}=a_{3}*r=18*3=54$

y así sucesivamente.

De la misma forma, si tenemos una progresión determinada, podemos identificar la razón, simplemente dividiendo términos conocidos, uno entre el anterior a este.$r=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

Del ejemplo anterior,

$r=\frac{a_{4}}{a_{3}} =\frac{a_{3}}{a_{2}} =\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{18} =\frac{18}{6} =\frac{6}{2} =3$

- Calculando el término general, o enésimo

Ahora bien, como sabemos cual es el décimo término?, o el término 50?, o el 1000?. No es necesario sacar los cálculos hasta allá, existe una forma sencilla.

sabemos que

$a_{2}=a_{1}*r=a_{1}*r^{2-1}\\a_{3}=a_{2}*r=a_{1}*r*r=a_{1}*r^{2}=a_{1}*r^{3-1}\\a_{4}=a_{3}*r=a_{1}*r^{2}*r=a_{1}*r^{3}=a_{1}*r^{4-3}$

Podemos fijarnos que para cualquier término,

$a_{n}=a_{1}*r^{n-1}$

y esta expresión nos define el término general, o término enésimo, que nos permite, conocido el primer término y la razón, calcular cualquier término de la progresión.

Si no se conoce el primer término, de la misma forma se puede demostrar que, $a_{n}=a_{k}*r^{n-k}$

- Suma de términos de progresión geométrica

Como ya vimos,

$a_{2}=a_{1}*r\\a_{3}=a_{2}*r\\a_{4}=a_{3}*r\\...\\a_{n}=a_{n-1}*r$

si sumamos todos los términos del lado izquierdo,

$S_{i}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}$,

si sumamos todos los términos del lado derecho,

$S_{d}=a_{1}r+a_{2}r+a_{3}r+...+a_{n-1}r=r(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1})$,

Esta expresiones deben ser iguales, $S_{i}=S_{d}$

Si llamamos $S$ a la suma de todos los términos de la progresión, nos damos cuenta, que $S_{i}$ es la suma de todos los términos, menos el primero,$S_{i}=S-a_{1}$

y que $S_{d}$ es $r$ por la suma de todos los términos, menos el último,

$S_{d}=r(S-a_{n})$

Igualamos y

$S-a_{1}=r(S-a_{n})\\S-a_{1}=rS-ra_{n}\\S(r-1)=ra_{n}-a_{1}\\S=\frac{a_{n}r-a_{1}}{r-1}$

dado que $a_{n}=a_{1}*r^{n-1}$

$S=\frac{a_{1}r^{n-1}r-a_{1}}{r-1} =\frac{a_{1}r^{n}-a_{1}}{r-1}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$

Que sería la expresión de la sumatoria de n términos de la progresión

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