Question

Problema de encontrar máximos y mínimos
2x³+9x²+12x+24
Bien explicado por favor para poder basarme para resolver otros gracias

Answer 1

Hola :) ,

Para hallar los máximos y mínimos necesitamos saber derivar , ya que necesitamos los puntos críticos donde la pendiente de la función sea 0 , si la pendiente es 0 implica que hay un punto de inflexión por lo tanto se encuentra un máximo o mínimo en ese punto. Este método no funciona para todas las funciones va a depender de la diferenciabilidad en el punto , pero los polinimios son funciones sin problemas para eso. Comencemos:

f(x) = 2x³+9x²+12x+24 

La derivada :

f ' (x) = 6x² + 18x + 12

Ahora buscamos los puntos críticos => f ' (x) = 0 

0 = 6x² + 18x + 12 / : 6

x²  + 3x + 2 = 0

(x + 2)(x + 1) = 0

Luego :

$x_{1} = - 2 \\ x_{2} = -1$

Estos puntos son candidatos a mínimos o máximos , para determinar cual es utilizamos la segunda derivada, si :

$f ' '(x_{i}) \ \textless \ 0 =\ \textgreater \ M\'aximo \ en \ x_{i} \\ f ' '(x_{i}) \ \textgreater \ 0 =\ \textgreater \ M\'inimo \ en \ x_{i}$

Hallemos la segunda derivada ;

f ' (x) = 6x² + 18x + 12 
f '' (x) = 12x + 18 

Evaluamos los puntos ;
x = -1

f '' (-1) = -12 + 18
f '' (-1) = 6 , el valor es mayor que 0 , por lo tanto,
en x = -1 hay un mínimo local.

Ahora ,

x = -2 

f '' (-2) = -24 + 18
f '' (-2) = -6 => menor que 0 , por lo tanto hay un máximo local en x=-2

Podemos obtener el punto si evaluamos en la función original :

f(-1) = 2*(-1³) + 9(-1)² + 12*-1 + 24
f(-1) = -2 + 9 - 12 + 24
f(-1) = 19

Hay un mínimo en (-1,19)

f(-2) = 2*(-2)³ + 9(-2)² + 12*-2 + 24
f(-2) = 2*-8 + 9*4
f(-2) = -16+36
f(-2) = 20

Hay un máximo en (-2,20). [ Así hallas máximos o mínimos ] 

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Este es un método , otro método  más intuitivo es observar la pendiente de la función , teníamos que :

f ' (x) = 6x² + 18x + 12
 
f ' (x) = 6(x+1)(x+2)

Observamos los productos y vemos para que valores la pendiente de la función es negativa o positiva 

          -inf       -2           -1          inf 
(x+1)     |    -    |       -     |     +    |
(x+2)     |    -    |       +    |      +    |
 f '(x)     |    +    |       -     |      +    | 

Este cuadro ve el signo de f ' (x) en su dominio , es solo el producto de los signos que tienen los factores en cada intervalo ,observa que la pendiente es positiva del intervalo (-infinito , -2) y luego la pendiente se vuelve negativa , por lo tanto allí hay un máximo , hay otro cambio de signo de (-2,-1) a (-1,inf) , la pendiente era negativa pero después de x=-1 , la pendiente ahora es positiva que significa eso , que hay un mínimo allí, este método es menos analítico pero es para ver un estudio gráfico de la función.

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Elige el método que quieras , espero haber explicado "bien" si tienes una consulta la pones como comentario y edito algo en la respuesta para completarla ,
saludos :)