Question

Calcula el valor de A y B para que el polinomio p(x) sea divisible por x²-3x+2

-2x^4 + Ax^3 + 14x^2 + Bx + 6

Answer 1

Solo hay que usar el algoritmo de la division:

$D(x) = d(x) \times q(x) + R(x)$

D(x): Dividendo

d(x): Divisor

q(x): Cociente

R(x): Residuo

Como el polinomio p(x) es divisible por ese otro polinomio, siginifica que al efectuar la division el residuo es 0.

Por lo tanto:

$- 2 {x}^{4} + A {x}^{3} + 14 {x}^{2} + Bx + 6 = ( {x}^{2} - 3x + 2)(q(x)) + 0$

Factorizamos el divisor:

$- 2 {x}^{4} + A {x}^{3} + 14 {x}^{2} + Bx + 6 = (x - 2)(x - 1)(q(x))$

Ahora hay que evaluar la expresion en 1 y luego en 2, esto es para que ae cancele el cociente, ya que el divisor se hace 0.

i) X = 1

$- 2 {1}^{4} + A {1}^{3} + 14 {1}^{2} + B(1) + 6 = 0 \\ - 2 + A + 14 + B + 6 = 0 \\ A + B = - 18$

ii) X = 2

$- 2 {2}^{4} + A {2}^{3} + 14 {2}^{2} + B(2) + 6 = 0 \\ - 32 + 8A + 56 + 2B + 6 = 0 \\ 8A + 2B = - 30 \\ 4A + B = - 15$

Ahora restamos i) con ii):

$A - 4A + B - B = - 18 - ( - 15) \\ - 3A = - 3 \\ A = 1$

Reemplazamos el valor de A en la primera ecuacion:

$(1) + B = - 18 \\ B = - 19$