Question

Alguien me puede ayudar con esta integral de antemano gracias

Answer 1

hola , veamos

Integral Racional

$I=\[\int \cfrac{dx}{3senx+cosx+3}$

para desarrollar la siguiente integral debemos saber lo siguiente

$tan\frac{x}{2} =u$

a partir de ello se desprende

$senx=\cfrac{2u}{1+u^{2} } \\ \\ cosx= \cfrac{1-u^{2} }{1+u^{2} }$

como observamos ya tenemos expresión para "senx" y "cosx" solamente nos faltaría expresar "dx" en función de "u"

para ello vamos a derivar "tan(x/2)=u"

por ende

$u=tan(\frac{x}{2} )$

tomando la derivada respecto de "x"

obs: (por la regla de la cadena) tan'(x/2) = sec²(x/2).(1/2)

$\frac{du}{dx} =sec^{2} (\frac{x}{2} ).\frac{1}{2}$

despejando

$dx=2cos^{2} (\frac{x}{2} ).du$

pero sabemos : 2cos²(x/2) = cosx+1

$dx=(cosx+1)du\\ \\ dx=\cfrac{1-u^{2} }{1+u^{2} } +1\\ \\ dx=\cfrac{2du}{1+u^{2} }$

ahora como todo las variantes las tengo en función de "u" podemos remplazar

luego :

$I=\[\int \cfrac{\cfrac{2du}{1+u^{2} } }{3(\cfrac{2u}{1+u^{2} })+\cfrac{1-u^{2} }{1+u^{2} } +3 } \\ \\\\ I=\[\int \cfrac{2du}{6u+4+2u^{2} } \\ \\ I=\[\int \cfrac{du}{u^{2} +3u+2} \\ \\\\ I=\[\int \cfrac{du}{(u+1)(u+2)}$

convirtiendo a sumas parciales

$I=\[\int (\cfrac{1}{u+1} -\cfrac{1}{u+2}).du$

como hay una diferencia la integral ingresa

$I=\[\int \cfrac{du}{u+1} -\[\int \cfrac{du}{u+2}$

$recordar:\[\int \cfrac{dx}{x} =ln(|x|)$

luego:

$I=Ln(|u+1|)+Ln(|u+2|)$

por lo cual u= tan(x/2)

ergo:

$I=Ln(tan\frac{x}{2} +1|)-Ln(|tan\frac{x}{2}+2|)+C$

Saludos.