Question

Un topógrafo observa con un teodolito la cima de un faro con un ángulo de elevación de 53°. Si en teodolito mide 1 m y se encuentra a 20 m de la base del faro. ¿Cuál es la altura del faro?

Answer 1

El faro tiene una altura aproximada de 27,54 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo este está conformado por el lado AB  (cateto a) que equivale a una porción de la altura del faro,  el lado BC (cateto b) que la distancia del topógrafo con su teodolito a la base del faro y el lado AC (c) es la hipotenusa del mismo.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia del teodolito a la base del faro y el ángulo de elevación de 53° que se forma cuando el topógrafo observa la cima del faro.

• Distancia del teodolito al faro  = 20 m

• Ángulo de elevación = 53°

• Debemos hallar la altura del faro = h = segmento AD

Si 53° es uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo,

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a ó lado AB) y el cateto adyacente (b ó lado BC)

Como sabemos el valor de el cateto adyacente( (b ó lado BC) y de el ángulo de elevación, por lo que podemos relacionar ambos mediante la tangente.

Dónde el lado AB (cateto a) equivale a una parte de la altura del faro

Planteamos,

$\boxed {\bold {tan (53 \°) = \frac{cateto\ opuesto}{\ cateto\ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {tan (53 \°) = \frac{cateto\ opuesto}{\ distancia\ faro \ a \ teodolito} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {AB = tan (53 \°)\ . \ distancia\ faro \ a \ teodolito\ (BC) }}$

$\boxed {\bold {AB =1,327 \ . \ 20 \ metros \ (BC) }}$

$\boxed {\bold {AB = 26,54 \ metros \ }}$

Lo que hemos hallado hasta ahora es una porción de la altura del faro que es el lado AB de nuestro triángulo rectángulo y equivale a 26, 54 metros.

Debemos hallar la altura del faro

El topógrafo está parado sobre la línea del suelo y desde allí con su teodolito observa la cima del faro con un ángulo de elevación de 53°

El faro también se encuentra sobre la línea de suelo o un plano horizontal

Si observamos este planteo en el gráfico vemos que se forma un rectángulo imaginario conformado por la línea de suelo, la proyección de la misma arriba (lado AB del triángulo, el teodolito de 1 metro de altura y su proyección en el otro extremo (lado BD )

Por lo tanto para calcular la altura del faro tenemos que sumar la medida ó altura del lado AB del triángulo (hallada en el paso anterior) más la altura del teodolito que resulta ser el segmento BD

Entonces,

$\boxed{ \bold {Altura \ del \ faro (AD) = AB + BD \ (altura\ del \ teodolito )}}$

$\boxed{ \bold {Altura \ del \ faro (AD) = 26,54\ metros + 1 \ metro \ (altura\ del \ teodolito )}}$

$\boxed{ \bold {Altura \ del \ faro (AD) = 27,54\ metros )}}$

$\boxed{ \bold {AD = 27,54\ metros )}}$

El faro tiene una altura aproximada de 27,54 metros