Teorema: Un grafo G es Euleriano si y solo si cada arco de G pertenece a un número impar de ciclos de G.
Ilustre con ejemplos casos en que se cumplan y casos en que no se cumplan las condiciones del teorema
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Leonhard Euler fue el más grande matemático, filósofo y físico suizo. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza).
Siendo un adolescente ingresó a la Universidad de Basilea, donde a los 17 años de edad, se graduó Doctor, provocando grandes aplausos con un discurso probatorio.
Trabajó todas las ramas conocidas de la matemática de su época y a todas les aportó algo. Resolvió el problema de los Puentes de Konigsberg que consistía en lo siguiente: dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?
Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas?
Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto regresando al punto de partida por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.
Entre otras muchas de sus obras Introdujo los símbolos e (como la inicial de su nombre), la letra pi para dicho número (el honor a la letra inicial de Pitágoras), f(x) para las funciones, el sumatoria (∑) y el cálculo de i como la raíz cuadrada de -1. Argumentó que el infinito separaba los números positivos de los negativos de forma similar a como lo hace el cero. Definió las funciones logarítmicas y exponenciales. Elaboró e introdujo la integración doble. Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas. Amplió y perfeccionó la geometría plana y de sólidos. Fue el primero en considerar el seno y el coseno como funciones. Introdujo los factores integrantes en las ecuaciones diferenciales. Generalizó la congruencia de Fermat, introduciendo una expresión que Gauss denominó “indicador”.
Considerado como el padre de la Teoría de Gráficas y como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos.
Euler vivió casi durante los diecisiete últimos años de su vida en una ceguera total. Ni siquiera esta tragedia consiguió interrumpir sus investigaciones y publicaciones, que continuó al mismo e incluso a mayor ritmo hasta 1783.
En San Petersburgo el 18 de septiembre de 1783, en que, a la edad de setenta y seis años, murió de manera repentina mientras tomaba el té y jugaba con uno de sus nietos.
La teoría de gráficas o teoría de grafos es aplicada entre otras, en áreas tales como ciencias sociales, ciencias físicas, ingeniería de comunicación; pero, básicamente juega un papel importante en las ciencias de la computación, tales como inteligencia artificial, lenguajes formales, teoría de cambio y lógica de diseño, gráficos por computadora, sistemas operativos, compiladores, y organización y recuperación de información, en lo que respecta al modelado de problemas, indicando sus características de manera muy objetiva.
El concepto de grafo o gráfica es muy diferente a los trazos realizados en matemática sobre los ejes x e y.
Entre otras aplicaciones se utiliza para:
. Cartografía (coloreado de mapas)
. Modelado matemático
. Determinación de tiempos en el desarrollo de proyectos
. Urbanistas
. Programación de exámenes en una institución educativa
.Programación de horarios en una entidad cualquiera
. Programación de distribución de servicios públicos (recolección de basuras en una ciudad, red de acueducto, de alcantarillado y de gas)
. Diseño de boards o tarjetas plásticas para dispositivos electrónicos. Redes de computadores