Question

un octogono regular esta inscrito en un circulo cuyo radio mide 12 encuentre el perimetro del octogono

Answer 1

En estos ejercicios donde un polígono se inscribe en un círculo siempre hay que acudir a la trigonometría para conocer el lado del polígono en cuestión y a partir de saber el lado multiplicarlo por el nº de lados y así averiguar el perímetro.

Nos dan el radio del círculo y consideramos que trazando dos radios hasta dos vértices consecutivos del octógono, se nos forma un triángulo isósceles donde los radios son los lados iguales y el lado del octógono es el desigual.

Trazando ahora la altura de ese triángulo (apotema del octógono) partiremos al isósceles en dos triángulos rectángulos iguales.

Como sabemos que el ángulo de una circunferencia completa es 360º, dividiendo por los lados del octógono calcularemos el ángulo central que es el comprendido entre dos radios consecutivos que forman el isósceles.

360 : 8 = 45º

Ahora hay que partir por 2 ese ángulo para conocer el que nos interesa que está formado por la apotema y uno de los lados iguales.

45 : 2 = 22,5º

El lado opuesto a este ángulo es LA MITAD del lado del octógono. Por tanto sabemos la hipotenusa (un radio) y el ángulo de 22,5º. Por calculadora o tablas trigonométricas sabré el seno que corresponde a ese ángulo que es de 0,38

Aplicando la fórmula del seno...

Sen 22,5º = Cat. opuesto (mitad lado octógono) / Hipotenusa (radio) ---->
0,38 = Cat. opuesto / 12 ... despejando ...
Cat. opuesto = 0,38 x 12 = 4,59 ≈ 4,6 mide la mitad del lado.

Ahora se hace fácil el cálculo del perímetro...
4,6 × 2 × 8 = 59,8 es la respuesta.

Saludos.