Supón que se quiere construir una pirámide cuya base tenga 80 latas. ¿Cuantas latas se necesitarán?¿Y si se quiere que la base tenga 2n latas?
Respuestas
Respuesta:
En los siguientes ejercicios se trata de calcular la tasa de variación de una magnitud cuando se conoce la tasa de variación
de otra magnitud relacionada con ella. En este tipo de ejercicios la “tasa de variación” se interpreta como una derivada y, en la
mayoría de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide. Hay que elegir las unidades de acuerdo con
los datos del problema; por ejemplo, si un volumen se mide en litros tendremos que medir longitudes con decímetros.
Ejercicio 1. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de
3000 litros por minuto?
Solución
Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V(t) el volumen de agua, medido en litros (=dcm3
), que
hay en el cilindro en el tiempo t medido en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación
V(t + 1) − V(t) = −3000 litros por minuto
En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V
0
(t) = −3000. Fíjate que V(t + to) − V(to) u
V
0
(to)t, por lo que la interpretación es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye
con el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos
V(t) = π r
2h(t)
y deducimos
V
0
(t) = −3000 = π r
2h
0
(t)
Por tanto
h
0
(t) = −
3000
π r
2
decímetros por minuto
Si expresamos las medidas en metros, entonces h
0
(t) = −
3
π r
2 metros por minuto.
Ejercicio 2. Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x = y
2
situada en el primer cuadrante de forma que su
coordenada x está aumentando a razón de 5 cm/sg. Calcular la velocidad a la que el punto P se aleja del origen cuando x
Explicación paso a paso:
Respuesta:
55 latas
Explicación paso a paso: