Question

pruebe que la distancia entre el punto (x1,y1) y la recta ax+by=c esta dada por
$d= \frac{ax+by-c}{ \sqrt{a x^{2} +b x^{2} } }$

Answer 1

el vector director de esta recta es 
                                                  $\vec v=(-b,a)$

elijamos un punto cualquiera sobre esta recta, digamos (0, c/b) 

Necesitaremos el vector cuyo origen es (0,c/b) y destino (x1,y1), es decir
                           $\vec w =(x_1,y_1)-(0,c/b)=(x_1,y_1-c/b)$

Luego proyectemos la sombra del vector $\vec w$ sobre el vector ortogonal a  $\vec v$ que es $\vec v^{\bot}=(a,b)$, es decir

$\displaystyle \vec d=\mbox{Proy}_{\vec{v}^{\bot}}\vec w\\ \\ \vec d=\frac{\vec{v}^{\bot} \cdot \vec w}{\|\vec{v}^{\bot}\|^2}\cdot \vec{v}^{\bot}\\ \\ \vec d=\frac{(a,b)\cdot (x_1,y_1-c/b)}{a^2+b^2}\cdot (a,b)\\ \\ \vec d=\frac{(ax_1+by_1-c)}{a^2+b^2}\cdot (a,b)$

el módulo de este vector será la distancia del punto a la recta

$\displaystyle \|\vec d\|=\left\|\frac{(ax_1+by_1-c)}{a^2+b^2}\cdot (a,b)\right\|\\ \\ \|\vec d\|=\left|\frac{(ax_1+by_1-c)}{a^2+b^2}\right|\cdot \|(a,b)\|\\ \\ \|\vec d\|=\frac{\left|ax_1+by_1-c\right|}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}\\ \\ \\ \large\boxed{\|\vec d\|=\frac{\left|ax_1+by_1-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$