la suma de los términos de una progresión aritmética es 199.5 el último término es 24 y la diferencia de la progresión 1.5 calcula el número de términos y el término primero
Respuestas
Respuesta:
Sucede que la progresión tiene dos soluciones
a₁ = 4.5
a₁ = - 3
si tomamos la primera solución
n = 14 términos
si tomamos la segunda solución
n = 19 términos
Explicación paso a paso:
En esta progresión aritmética utilizaremos dos expresiones
an = a₁ + ( n - 1 ) d
sustituimos an = 24 ; d = 1.5
24 = a₁ + 1.5n - 1.5
despejamos "n"
n = 24 + 1.5 - a₁
n = (25.5 - a₁ ) / 1.5
La otra expresión es
S = n ( a₁ + an ) / 2
sustituimos an = 24 ; S = 199.5
199.5 = n ( a₁ + 24 ) / 2
despejamos "n"
n = ( 199.5 ) ( 2 ) / ( a₁ + 24 )
n = 399 / ( a₁ + 24 )
igualamos las expresiones despejadas
( 25.5 - a₁ )/ 1.5 = 399 / ( a₁ + 24 )
resolvemos para "a₁"
( 25.5 - a₁ ) ( a₁ + 24 ) = ( 399 ) ( 1.5 )
25.5a₁ + 612 - a₁² - 24a₁ = 598.5
- a₁² + 1.5a₁ + 612 - 598.5 = 0
- a₁² + 1.5a₁ + 13.5 = 0
multiplicamos por -1
a₁² - 1.5a₁ - 13.5 = 0
podemos ver que se trata de una ecuación de segundo grado y esta es la razón de que tengamos dos soluciones
resolvemos por fórmula
a₁ = - ( - 1.5 ) ± √ ( - 1.5 )² - 4 ( 1 ) ( - 13.5 ) / 2 ( 1 )
a₁ = 1.5 ± √ 2.25 + 54 / 2
a₁ = 1.5 ± √ 56.25 / 2
a₁ = 1.5 ± 7.5 / 2
separamos las dos soluciones
solución 1
a₁ = 1.5 + 7.5 / 2
a₁ = 9/2
a₁ = 4.5
solución 2
a₁ = 1.5 - 7.5 / 2
a₁ = - 6 / 2
a₁ = - 3
De acuerdo a estos resultados si el primer término es
a₁ = 4.5
n = 399 / 4.5 + 24
n = 399 / 28.5
n = 14 términos
si el primer término es
a₁ = - 3
n = 399/ - 3 + 24
n = 399 / 21
n = 19 términos