Question

suma de una progresion aritmetica con n terminos S= n/2(2a+(n-1)d), para a.

Answer 1

Se sabe la fórmula del término de lugar k

                                       $t_k=t_1+(k-1)d$

es decir
$t_1=t_1\\ t_2=t_1+d\\ t_3=t_1+2d\\ t_4=t_1+3d\\ \vdots\\ t_n=t_1+(n-1)d$

Si sumamos 

$t_1+t_2+t_3+\cdots + t_n=t_1+(t_1+d)+(t_1+2d)+\cdots+[t_1+(n-1)d]\\ \\ \text{Agrupamos convenientemente}\\ \\ S=(\underbrace{t_1+t_1+\cdots+t_1}_{n \text{ veces}})+[d+2d+3d+\cdots+(n-1)d]\\ \\ S=n\cdot t_1+[1+2+3+\cdots (n-1)]d\\ \\ \displaystyle S=n\cdot t_1+\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}d\\ \\ S=n\cdot t_1+\frac{n(n-1)}{2}d\\ \\ \boxed{S=\frac{n}{2}\left[2t_1+d(n-1)\right]}$