En una p.g. de 6 terminos en la cual el primer termino es igual a la razon y la suma del primer termino y tercer termino es 30 la suma de sus terminos es..
Respuestas
Explicación paso a paso:
La suma de términos de una p.g es:
Sn = [t1×(r^n - 1]/r - 1
Dónde:
t1 = primer término
n =número de términos
r = razón
Según el enunciado tendremos:
n = 6
t1 = r
t1 + t3= 30
t3 podemos dejarlo en función al primer término y la razón usando la fórmula del término general de una p.g
tn = t1 × r^n-1
t3 = t1 + r^3-1
t3 = t1 + r²
Pero como t1 = r
t3 = t1 + t1²
Entonces, reemplazando:
t1 + t1 + t1² = 30
2t1 + t1² - 30 = 0
Ordenando
t1² + 2t1 - 30 = 0
Nos queda una ecuación cuadrática, entonces usamos la fórmula cuadrática:
t1 = [-b ± √(b² - 4×a×c)/2×a]
Reemplazando:
t1 = {-2 ± √[2² - 4×1×(-30)]/2×1}
t1 = [-2 ± √(4 + 120)/2]
t1 = (-2 ± √124)/2
t1 = -2 ± 2√31/2
Debido al doble signo habrá dos resultados, uno positivo y otro negativo
t1 = -2 + 2√31/2
t1 = 2(-1 + √31)/2
t1 = -1 + √31
Con el signo negativo:
t1 = -2 - 2√31/2
t1 = 2(-1 - √31)/2
t1 = -1 - √31
Entonces como el ejercicio no nos especifica qué tipo de número debe ser el primer termino, entonces tendremos que resolver el ejercicio con ambos valores del primer término:
S6 = {[(-1 ±√31)×(-1 ±√31)⁶ - 1]/ -1 ±√31 - 1
S6 = 14172.62933
S6 = 59049.22252