Question

Un círculo de radio 1 es completamente cubierto por 7 círculos más pequeños (todos de la misma medida), que posiblemente se sobreponen. Demuestre que el radio de cada uno de los círculos más pequeños no debe ser menor a ½.

Answer 1

El radio de los circulos no debe ser menos  √7/7 cm

La clave del ejercicio es que todos los circulos cubren completamente el circulo de radio 1 (diremos que en cm), entonces el área de este circulo es:

A = π*r² = π*1cm² = π cm²

Luego los 7 circulos: cubren a lo sumo (máximo) la suma de las áreas de los 7 circulos, supongamos que r es el radio (ya que nos dicen que tienen la misma medida) y A es el área que ocupan los 7 circulos que queremos que sea π cm²

π cm² = A ≤ ∑π*r² = 7π*r²

π cm² ≤ 7π*r²

1 cm² ≤ 7*r²

1/7 cm² ≤ r²

r ≥ √((1/7) cm²) = 1/√7 cm= √7/7  cm