Question

El perímetro de un rectángulo es de 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su área es de
2 108 cm .

Answer 1

Vamos a hacer un sistema de ecuaciones unificando ambas condiciones

2x + 2y = 42

xy = 2108

Resolvemos por el método de sustitución

a) Simplificas la ecuación 1

x + y = 21

xy = 2108

b) Despejas x en ec1

x = 21 - y

xy = 2108

c) Sustituyes x = 21 - y en ec2

x = 21 - y

(21 - y) y = 2108

d) Multuplicas los términos en ec2 y acomodas la ecuación, dejaremos ec1 de lado de momento

-y^2 + 21y - 2108 = 0

e) Cambiamos el signo de todos los valores para que y^2 se vuelva positivo

y^2 - 21y + 2108 = 0

f)  Resolvemos con la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, donded a = 1, b = -21, c = 2108

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a} \\x=\frac{-(-21)+-\sqrt{(-21)^{2}-4(1)(2108) } }{2(1)} \\x=\frac{21+-\sqrt{441-8432 } }{2} \\\\x=\frac{21+-\sqrt{-7991 } }{2}$

Una de las reglas de los radicales dice que la raíz de un número negativo no existe en los número reales. Como llegamos a $\sqrt{-7991}$, no podemos continuar, lo que significa que este problema no tiene solución en los números reales.

Geométricamente, esta respuesta quiere decir que no hay rectángulo cuya suma de lados de 42 y el múltiplo de éstos sea 2108 (es un área muy grande para un rectángulo chiquito)