Question

El volante gira con velocidad angular ω=2rad/s y aceleración angular α=6rad/s^2. Determine la aceleración angular de los eslabones AB y BC en este instante. La pendiente de la línea desde A hasta B es de -3/4.

Answer 1

La aceleración angular del eslabón BC es de $4,5s^{-2}$ y la aceleración angular del eslabón AB es 0.

Explicación:

Podemos definir el triángulo rectángulo AMB cuya hipotenusa es siempre 0,5 metros. Y si el desplazamiento γ del volante ocasiona un desplazamiento σ del eslabón BC queda:

$\sqrt{(AM+dAM_2-dAM)^2+(BM+dBM-dBM_2)^2}=0,5m\\\\dAM=0,4m.sen(\sigma)\\dAM_2=0,3m.sen(\gamma)\\dBM=0,4m(1-cos(\sigma))\\dBM2=0,3(1-cos(\gamma))$

Desglosamos los cuadrados de binomios y queda:

$\sqrt{(AM+(dAM_2-dAM))^2+(BM+(dBM-dBM_2))^2}=0,5m\\\\dAM_2-dAM=a\\dBM-dBM_2=b\\\\\sqrt{(AM+a)^2+(BM+b)^2}=0,5m\\\sqrt{AM^2+2AMa+a^2+BM^2+2BMb+b^2}=0,5m\\\\AM^2+2AMa+a^2+BM^2+2BMb+b^2=0,25\\AM^2+BM^2=0,25=>2AMa+a^2+2BMb+b^2=0$

Reemplazando a y b por sus expresiones queda:

$2AM(dAM_2-dAM)+(dAM_2-dAM)^2+2BM(dBM-dBM_2)+(dBM-dBM_2)^2=0\\\\(2AM+dAM_2-dAM)(dAM_2-dAM)+(2BM+dBM-dBM_2)(dBM-dBM_2)=0$

Podemos tomar un desplazamiento muy pequeño de modo tal que queda AM>>dAM y BM>>dBM con lo que las soluciones para esa ecuación quedan:

$dAM_2-dAM=0=>0,3.sen(\gamma)-0,4.sen(\sigma)=0\\dBM-dBM_2=0=>0,4(1-cos(\sigma))-0,3(1-cos(\gamma))=0$

De la primera ecuación queda:

$0,3sen(\gamma)=0,4sen(\sigma)\\\\sen(\sigma)=\frac{0,3}{0,4}sen(\gamma)$

Derivamos temporalmente ambos miembros y queda:

$cos(\sigma).\frac{d\sigma}{dt}=0,75cos(\gamma)\frac{d\gamma}{dt}\\\\cos(\sigma).w_{BC}=0,75cos(\gamma).w_A\\\\w_{BC}=0,75w_A$

Esto último porque los ángulos iniciales son 0 y la aceleración angular de BC queda:

$\frac{dw_{BC}}{dt}=0,75\frac{dw_{A}}{dt}\\\\\alpha_{BC}=0,75\alpha_A=0,75.6s^{-2}\\\\\alpha_{BC}=4,5s^{-2}$

Ahora podemos decir que el ángulo que el segmento AB forma con la horizontal es ε. Si miramos la figura queda:

$tan(\epsilon)=\frac{AM+dAM_2-dAM}{BM+dBM-dBM_2}\\\\tan(\epsilon)=\frac{AM+0,3sen(\gamma)-0,4sen(\sigma)}{BM+0,4(1-cos(\sigma))-0,3(1-cos(\gamma))}$

Pero si recordamos lo que habíamos planteado queda:

$dAM_2-dAM=0=>0,3.sen(\gamma)-0,4.sen(\sigma)=0\\dBM-dBM_2=0=>0,4(1-cos(\sigma))-0,3(1-cos(\gamma))=0\\\\tan(\epsilon)=\frac{AM}{BM}$

El ángulo con la horizontal de AB se mantiene constante con lo cual la aceleración angular de AB es 0.