Question

Una escalera de 4 metros se encuentra apoyada en una pared, y esta forma un angulo de elevación de 57 grados con el suelo ¿aque altura se encuentra el borde de la superficie de la escalera con la superficie

Answer 1

La altura de la pared es de aproximadamente 3,356 metros y a esa altura se encuentra el borde de la superficie de la escalera con el de la pared.

La distancia de separación de la pared a la base inferior de la escalera es de aproximadamente 2,18 metros.

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo este está conformado por el cateto a que equivale a la altura de la pared donde se apoya la escalera,  el cateto b que es valor de la distancia de separación entre la pared y la base de la escalera y c es la hipotenusa la cual equivale a la longitud de la escalera.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la longitud de la escalera y el ángulo de elevación que forma la escalera con la línea de suelo al estar esta apoyada en la pared, el cual es de 57°,

• Longitud de la escalera = 4 m

• Ángulo de elevación = 57°

Si 57° es uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo,

Y el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

Como sabemos el valor de la hipotenusa (c) y de el ángulo de elevación, resulta que podemos relacionar mediante el seno.

Dónde el cateto a equivale a la altura de la pared.

Siendo el seno del ángulo de 57° la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

Planteamos,

$\boxed { {\bold {sen(57 \°) = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa} = \frac{a}{c} }}}$

$\boxed { {\bold {sen(57 \°) = \frac{cateto \ opuesto}{4 \ m} = \frac{a}{4 \ m} }}}$

$\boxed {\bold { {cateto \ opuesto} = a= {sen(57 \°) \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { a= {sen(57 \°) \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { a= 0,839 \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { a=3,356 \ m}}}}}$

La altura de la pared es de ≅ 3,356 m

Como sabemos el valor de la hipotenusa (c) y de el ángulo de elevación, resulta que podemos relacionar mediante el coseno.

Dónde el cateto b equivale a la distancia de separación de la escalera a la pared. En otras palabras es la distancia de separación de la pared a la base inferior de la escalera.

Siendo el coseno del ángulo de 57° la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

Planteamos,

$\boxed { {\bold {cos(57 \°) = \frac{cateto \ adyacente}{hipotenusa} = \frac{b}{c} }}}$

$\boxed { {\bold {cos(57 \°) = \frac{cateto \ adyacente}{4 \ m} = \frac{b}{4\ m} }}}$

$\boxed {\bold { {cateto \ adyacente} = b= {cos(57 \°) \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { b= {cos(57 \°) \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { b= 0,545 \ . \ 4 \ m}}}}}$

$\boxed {\bold { b= 2,18 \ m}}}}}$

La distancia de separación de la pared a la base inferior de la escalera es de ≅ 2,18 m