Question

Determinar el valor de k tal que:
$\lim_{n \to +\infty} [\frac{kx-1}{kx+1}]^x=4$

Como ayuda: la respuesta es: k= -2/ln(4)
Lo que me urge es saber el procedimiento correcto para que en mejor calidad pueda llegar a la respuesta, hasta ahora solo tengo un relajo en mis cristerios matematicos. Espero que alguien pueda ayudarme. De antemano gracias!

Answer 1

$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\frac{kx-1}{kx+1}\right)^x=4$

recordemos que

$\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

Tratemos de llevar la expresión a esa forma

$\displaystyle L=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\frac{(kx+1)-2}{kx+1}\right)^x\\ \\ L=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{kx+1}\right)^x\\ \\ L=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{kx+1}{2}}\right)^x\\ \\ L=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{kx+1}{2}}\right)^{[-(kx+1)/2+1/2](-2/k)}\\ \\ L=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{-\frac{kx+1}{2}}\right)^{[-(kx+1)/2](-2/k)}\left(1+\frac{1}{-\frac{kx+1}{2}}\right)^{-1/k}\\ \\ L=e^{-2/k}(1+0)^{-1/k}$

$\displaystyle \boxed{L=e^{-2/k}}\\ \\ e^{-2/k}=4\\ \\ -2/k = \ln4 \\ \\ \boxed{k=-\frac{2}{\ln4}}$