¿Cuáles son las dimensiones del solar para que el área cercada sea la máxima posible?
ayúdese del MATERIAL GUÍA que se encuentra luego del anexo 1
ANEXO 1.
Lee con atención el siguiente enunciado: la convivencia fomenta la unión y el trabajo colaborativo entre todos los miembros de la familia, en el que sobresalen las buenas relaciones interpersonales. Durante los últimos días, en un recinto de la provincia de Manabí, la familia Zambrano ha aprovechado para cercar un solar de forma rectangular. La familia Zambrano dispone de 48 m de valla para cercar su solar.
PARA EL LITERAL a): Ten en cuenta que un solar es “Terreno que ocupa un edificio o que está destinado a la edificación de alguna estructura, por ejemplo, una casa” por lo tanto, se considera que puede ser una superficie regular como irregular. En este ejercicio que te proponemos, el solar tiene una forma rectangular por lo tanto significa que tiene un par de lados de la misma medida y los otros dos de otra medida diferente.
Lo que debes hacer es distribuir los 48 metro de valla de la familia Zambrano, de tal forma que ocupes toda la cantidad de valla en cercar su solar.
Puedes aplicar la fórmula de área de un rectángulo A= b * a
O más fácil aún, puedes aplicar la fórmula del perímetro de un rectángulo, ¿recuerdas cuál es?
Respuestas
El solar debe tener 12 m de base por 12 m de altura para cercar el área máxima posible, 144 m².
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área (A) del solar rectangular. Si llamamos y la altura y x la base; la función objetivo viene dada por:
A = xy
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función de una sola variable, por lo que usaremos el perímetro (P) conocido (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
P = 2x + 2y = 48
de aquí
y = 24 - x
por tanto la función objetivo es
A = x(24 - x) = 24x - x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A' = 24 - 2x
A' = 0 ⇒ 24 - 2x = 0 ⇒ x = 12
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''₍₁₂₎ = -2 < 0 ⇒ es un máximo de la función A.
Luego, y = 24 - (12) = 12
El solar debe tener 12 m de base por 12 m de altura para cercar el área máxima posible, 144 m².
