Question

para construir un tunel a traves de una montaña entre los puntos A y B, un topografo midio las distancias de estos dos puntos a su posicion C, asi como el angulo ABC. obtuvo los siguientes registros: La distancia de A y C es de 120m. La distancia entre B y C es de 70m. El angulo ACB mide 74*. ¿Cual es la longitud aproximada del tunel?

Answer 1

La longitud del túnel será de aproximadamente 121.12 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se ubicó el topógrafo para medir, donde el lado AC (b) representa una de las mediciones realizadas por el topógrafo hasta un punto del túnel y el lado BC (a) la otra medición efectuada por el topógrafo hasta el segundo punto del túnel. Donde ambas mediciones realizadas forman un ángulo de 74°.

Donde se pide hallar la longitud del túnel que se construirá

Hallamos la longitud del túnel (c) - la cual está comprendida entre los puntos A y B donde se ubican los dos puntos extremos del mismo -

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud del túnel

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (70 \ m) ^{2} + ( 120 \ m) ^{2} - 2 \ . \ 70 \ m \ . \ 120\ m \ . \ cos(74^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 4900 \ m ^{2} + 14400 \ m^{2} - 16800 \ m^{2} \ . \ cos(74^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 19300 \ m^{2} - 16800 \ m^{2} \ . \ 0.275637355817 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 19300 \ m^{2} -4630.70 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 14669.30 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 14669.30 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 14669.30 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 121.116885\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 121.12 \ metros}}$

La longitud del túnel será de aproximadamente 121.12 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados