Question

Una empresa desea construir latas cilíndricas para contener 1 litro de refresco. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la pieza de metal que se debe utilizar para fabricar el envase para que el coste sea mínimo? Observad que la lata esta formada por un rectángulo de metal (la pared de la lata) y dos círculos de metal (para el fondo y la tapa). Se debe calcular el radio, r, de las dos tapas y la altura, h, de la pared para que el coste sea mínimo.

Answer 1

Buenas noches;
Se trata de un problema de máximos y mínimos.
El volumen de la lata es:
V(r,h)=π.r².h
V(r,h)=1; entonces: π.r².h=1 dm³   (condición).
Entonces. h=1/π.r²

La superficie de un cilindro es;
S(r,h)=2.π.r.(h+r);
S(r)=2.π.r.((1/π.r²)+r);
S(r)=2.π.r.((1+π.r³)/(π.r²));
S(r)=2.((1+π.r³)/r).

Realizamos la primera derivada:
S`(r)=2.[(3.π.r².-1)/r²]
Iugalamos la primera derivada a "0" y obtenemos valores de "r"
2.[(3.π.r².-1)/r²]=0;
3.π.r²-1=0;
r=√(1/3.π).  (0.3257 dm).

Para comprobar si se trata de un máximo o un mínimo realizamos la 2ª derivada;
S``(r)=2.[6.π-2]/r³.
Sustituimos el valor obtenido.
S``(√(1/3π)>0; por tanto se trata de un mínimo.

Despejamos h; h=1/π(√1/3.π)²=3.

Sol: la altura será 3 dm, y el radio 0.326 dm.

Un saludo.