Question

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María se encuentra en el piso 14 de un edificio, es decir a 51 m de altura y observa por la ventana un
rascacielos que está en frente. Si divisa la terraza del rascacielos con un ángulo de elevación de 57° y la
planta baja del mismo con un ángulo de depresión de 13° ¿Cuál es la altura del rascacielos?

Answer 1

La altura del rascacielos es de 391.16 metros        

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Dado que María desde su ventana en lo alto observa la parte inferior o planta baja del rascacielos de enfrente con un ángulo de depresión de 13° y la terraza del mismo con un ángulo de elevación de 57°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD, en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo del observador- a la parte inferior del rascacielos-, con un ángulo de depresión de 13°, el lado DB que es una porción del rascacielos y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se ubica María siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al rascacielos y también la distancia hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x", la cual es una preincógnita

El triángulo ACD en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima del observador- a la parte superior o terraza del rascacielos-, con un ángulo de elevación de 57°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a una porción de la altura del rascacielos de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y" teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" al rascacielos

Donde se pide hallar la altura "h" del rascacielos

Por tanto se determinará primero la distancia "x" hasta el rascacielos, y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del rascacielos

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la distancia x - distancia del edificio al rascacielos-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 13^o }$

$\boxed{\bold { tan(13^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(13^o) = \frac{ altura\ ventana \ }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ ventana }{ tan(13^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 51 \ m }{ tan(13^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 51 \ m }{ 0.230868191126 } }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 220.90 \ metros } }$

Luego la distancia del edificio al rascacielos es de 220.9 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la distancia y - parte de la altura del rascacielos-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 57^o }$

$\boxed{\bold { tan(57^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(57^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(57^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 220.9 \ m \ . \ tan(57^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 220.9 \ m \ . \ 1.539864963815 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 340.15617 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 340.16 \ metros } }$

Hallamos la altura h del rascacielos

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Rascacielos\ (h) = altura \ ventana\ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Rascacielos\ (h) = 51 \ m+\ 340.16 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Rascacielos\ (h)= 391.16 \ metros } }$

La altura del rascacielos es de 391.16 metros