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∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx
primero se van a hacer ciertas transformaciones trigonométricas al integrando para poder operar de una manera mas sencilla
csc(x).(csc(x) - cot(x) = csc²(x) - csc(x).cot(x)
como cot(x) = cos(x)/sen(x) = csc(x).cos(x) por que csc(x) = 1/sen(x)
tendria que
csc(x).(csc(x) - cot(x) = csc²(x) - csc(x).cot(x) = csc²(x) - csc²(x).cos(x)
Ahora bien, se puede expresar la csc(x) en función de la tg(x) y la sec(x) para ello se hace lo siguiente
en la identidad trigonométrica fundamental
sen²(x) + cos²(x) = 1
se va a multiplicar en ambos miembros por 1/sen²(x), es decir
(1/sen²(x)).(sen²(x) + cos²(x)) = 1/sen²(x) = csc²(x)
1 + cos²(x)/sen²(x) = csc²(x)
1 + cot²(x) = csc²(x)
como cot(x) = 1/tg(x) reemplazando se tiene
1 + (1/tg(x))² = csc²(x)
1 + (1/tg²(x)) = csc²(x)
(tg²(x) + 1)/tg²(x) = csc²(x)
abría que ver a que es igual tg²(x) + 1 , para eso voy a multiplicar en ambos miembros de la identidad trigonométrica fundamental por 1/cos²(x)
(1/cos²(x)).(sen²(x) + cos²(x)) = 1/cos²(x)
sen²(x)/cos²(x) + 1 = sec²(x)
tg²(x) + 1 = sec²(x)
por lo tanto
csc²(x) = (tg²(x) + 1)/tg²(x) = sec²(x)/tg²(x)
ahora el integrando puede ser escrito como
(sec²(x)/tg²(x)) - (cos(x)/sen²(x))
la razón por la que se pretende trabajar de esta forma es para poder aplicar el método de sustitución o cambio de variable, se observa que los numeradores de son las derivadas de las bases de los cuadrados divisores
∫f´(u).u´dx = F(u) + c donde u es una función en x u(x)
entonces
∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx = ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx - ∫(cos(x)/sen²(x)) dx
resolvemos por cambio de variable
1) ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx
u(x) = tg(x) si derivamos u(x) tenemos
du(x)/dx = sec²(x) ⇒ du = sec²(x) dx se hace el cambio
∫ du/u² = ∫ u⁻² du = (u¹ ⁻ ²/(1 - 2)) + c₁ = -u⁻¹ + c₁ = -(1/u) + c₁ como u(x) = tg(x)
se tiene nuevamente que
∫(sec²(x)/tg²(x)) dx = -(1/tg(x)) + c₁
2) ∫(cos(x)/sen²(x)) dx
u(x) = sen(x) si derivamos u(x) tenemos
du(x)/dx = cos(x) ⇒ du = cos(x) dx se hace el cambio
∫ du/u² = ∫u⁻² du = u¹ ⁻ ²/(1 - 2) + c₂ = -u⁻¹ + c₂ = -(1/u) + c₂ por lo tanto
∫(cos(x)/sen²(x)) dx = -(1/sen(x)) + c₂
finalmente
∫csc(x).(csc(x) - cot(x)) dx = ∫(sec²(x)/tg²(x)) dx - ∫(cos(x)/sen²(x)) dx
= (-(1/tg(x)) + c₁) - (-(1/sen(x)) + c₂)
= -(1/tg(x)) + (1/sen(x)) + (c₁ - c₂)
= -(1/tg(x)) + (1/sen(x)) + C
= -(cos(x)/sen(x)) + (1/sen(x)) + C
= (1/sen(x)).(1 - cos(x)) + C
=csc(x).(1 - cos(x)) + C
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