Question

Determina el valor de m en la ecuación
3x^2 + m (x-2) + 5= 0 de manera que las raíces sean recíprocas y de signos contrarios

Answer 1

Puedes utilizar la fórmula general para determinar las raíces:
$3x^2+m(x-2)+5=0\\3x^2+mx-2m+5 \\ \\ a=3 \\ b=m \\ c=(-2m+5) \\ \\ x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} =\frac{-m\pm \sqrt{m^2-4(3)(-2m+5)} }{2(3)}=\frac{-m\pm \sqrt{m^2+24m-60} }{6}= \\ \\ x_1=\frac{-m+ \sqrt{m^2+24m-60} }{6} \\ \\ x_2=\frac{-m- \sqrt{m^2+24m-60} }{6}$

Las raíces son recíprocas y de signo contrario:
$x_1= -\frac{1}{x_2} \\ \Rightarrow\frac{-m+ \sqrt{m^2+24m-60} }{6}=- \frac{1}{(\frac{-m- \sqrt{m^2+24m-60} }{6})}= \frac{-6}{-m- \sqrt{m^2+24m-60} } \\ \\ \Rightarrow (-m- \sqrt{m^2+24m-60})(-m+ \sqrt{m^2+24m-60})=(-6)(6) \\ =(-m)^2- (\sqrt{m^2+24m-60})^2=-36 \\ m^2-(m^2+24m-60)=m^2-m^2-24m+60 \\ -24m+60=-36 \\ 96=24m \\ 96/24=m \\ \boxed{m=4}$

Saludos!