Respuestas
Respuesta:Ejemplo 1:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) = (4,5π/6,3).
Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = −2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3
Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (−2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a
continuación:
a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x
Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z.
si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.
x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.
r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.
Solución b)
La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x
por r cos ө, obtenemos:
y2 = x ecuación rectangular.
r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.
r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar términos y factorizar
r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos miembros por r
r =cos ө / sen2 ө despejar r
r csec ө ctan ө ecuación en cilíndricas.
Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros
por el factor r.
Ejemplo 3:
Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0
Solución:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 e
Explicación paso a paso: