Question

El dueño de una pollería, al conocer que puede vender pollo a la brasa a domicilio, se prepara para atender la entrega de 5 pollos el primer día. A partir de ese día, y durante la primera semana, proyecta que sus ventas crezcan de la siguiente manera: cada día venderá 3 pollos más que el día anterior. ¿Qué relación tiene este ejemplo con una progresión aritmética?
APRENDO EN CASA

Answer 1

Explicación paso a paso:

Este ejemplo se relaciona con una Progresión Aritmética (P.A.) por lo siguiente:

Sabemos que el primer término es 5, ya que es la cantidad de pollos que entregó el primer día, por lo tanto $t1=5$

A partir de ese día estima que sus ventas crecerán 3 pollos más que el día anterior, es decir es la razón constante o diferencia de la Progresión Aritmética. Por lo tanto: $r=3$

Si el primer día entregó 5 pollos, el segundo día entregará:

                                                 $t2=5+3\\t2=8$

Si el segundo día entregó 8 pollos, el tercer día entregará:

                                                 $t3=8+3\\t3=11$

Y así sucesivamente...

Entonces formamos la Progresión:

                                                $5,8,11,....$

Como lo habíamos mencionado antes, esta progresión es aritmética.

¿Por qué es una Progresión Aritmética?

Porque la razón constante o diferencia se encuentra la primera vez y teniendo ese dato podemos calcular cualquier término de la P.A. usando la siguiente fórmula:

                                         $tn=t1+(n-1)r$

Donde:

$tn=$ Número de una cierta posición.

$t1=$ Primer término, en este caso el término del día 5.

$n=$ Posición de un número.

$r=$ Razón, en este caso 3.

Por ejemplo:

Si yo quiero calcular cuantos pollos entregó el día treinta, tengo que hacer lo siguiente:

Tengo como datos: $t1=8$ y $r=3$, pero falta "n" , "n" es igual a 30 ya que quiero calcular cuantos pollos entregó ese día. Entonces reemplazamos:

                                          $t30=8+(30-1)(3)\\t30=8+(29)(3)\\t30=8+87\\t30=95$

                                   El día 30 entregó 95 pollos.

Si quiero calcular cuantos pollos entregó el día 50, entonces reemplazo en la fórmula:

                                          $t50=8+(50-1)(3)\\t50=8+(49)(3)\\t50=8+147\\t50=155$

                                 El día 50 entregó 155 pollos.

¿Qué pasaría si quiero calcular el total de pollos que entregó hasta un cierto día?

Para ello tenemos que aplicar la Suma de "n"  términos de una P.A. , cuya fórmula es la siguiente:

                                          $Sn=(\frac{t1+tn}{2} )*n$

Donde:

$t1=$ Primer término.

$tn=$ Último término o posición hasta donde se desea calcular la suma.

$n=$ Número de términos.

                  ¿Cuantos pollos entregó en total hasta el día 30?

Reemplazamos:

                                           $S30=(\frac{8+95}{2} )*30\\S30=1545$

                                Hasta el día 30 entregó 1545 pollos.

                  ¿Cuántos pollos entregó en total hasta el día 50?

Reemplazamos:

                                            $S50=(\frac{8+155}{2} )*50\\S50=4075$

                                 Hasta el día 50 entregó 4075 pollos.