Question

Encontrar la ecuacion de la recta tangente para x=2 en la ecuacion de la circunferencia x2+y2=9
Utilizando derivacion

Answer 1

Respuesta:

Ecuacion de la Circunferencia: $x^{2} + y^{2}=9$

Para todo x=2

Derivacion normal se debe usar aca,

Explicación:

Primero la ecuacion define dos funciones dado que

$y^{2}=9-x^{2}$

$y = +/-\sqrt{9-x^{2} }$

Es decir que hay dos ecuaciones de diferente signo

$y = +\sqrt{9-x^{2} } \\y = -\sqrt{9-x^{2} }$

(Estas serian las ecuaciones de la recta que pide)

Ahora definimos dos funciones, primer la funcion f1(x)

$Funcion 1:\sqrt{9-x^{2} } \\Funcion 2: -\sqrt{9-x^{2}}$

Se realiza derivacion en ambas ecuaciones, comenzamos con F1(Funcion 1)$f(x) = \sqrt{9-x^{2} } \\Derivando....$

$\mathrm{Aplicamos\:la\:regla\:de\:la\:cadena}:\quad \frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

$f=\sqrt{u},\:\:u=9-x^2$

Quedaria...

$\frac{d}{du}\left(\sqrt{u}\right)\frac{d}{dx}\left(9-x^2\right)$

$\frac{d}{du}\left(\sqrt{u}\right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$

Luego sustituimos y queda

$\frac{d}{dx}\left(9-x^2\right)=-2x$

$\mathrm{Aplicamos\:la\:regla\:de\:la\:suma/diferencia}:\quad \left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$

$\frac{d}{dx}\left(9\right)-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$

$\frac{d}{dx}\left(9\right)=0$ (La derivada de 9 es cero por ser una constante)

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x$

Luego sustituimos y tenemos

$-\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$ = 2x

$0-2x$

$-2x$

Sustituimos en la ecuacion  $u=9-x^{2}$ quedaria lo siguiente

$\frac{1}{2\sqrt{9-x^2}}\left(-2x\right)$

Simplificamos usando racionalizacion queda

R = $-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

Lo mismo se hace con la segunda ecuacion la negativa en este caso:$-\sqrt{9-x^{2} }$

La solucion ya derivada nos da con signo positivo:

$\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

Ahora evaluamos en cada derivacion en al valor dado que seria x = 2

$\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

Evaluando en x = 2

$\frac{2}{\sqrt{9-x^{2}}}$

Simplificamos y queda;

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Si evaluamos ahora en la derivacion segunda de sign negativo:

$-\sqrt{9-x^{2} }$

Su derivacion fue: $-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

Sustituimos x = 2 en la derivacion negativa y tenemos:

$-\frac{2}{\sqrt{9-2^2}}$

Simplificando queda

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Listo!