Question

SERIES Y SUMATORIAS.- Calcular ''S'' en base ''siete'':

Answer 1

Respuesta:

Alternativa D) S = 11 413 (7)

Explicación paso a paso:

Hola espero que entiendas ✌️

Si nos dice que la diferencia de dos sumándose es consecutivas, entonces se refiere a una progresión aritmética.

Hallando la constante (k):

$25_{n} - 13_{n} =k \\ 2n + 5 - (n + 3) = k \\ n + 2 = k$

$40_{n} - 25_{n} = k \\ 4n + 0 - (2n + 5) = k \\ 2n - 5 = k$

Igualando:

$n + 2 = 2n - 5 \\ n = 7$

$n + 2 = k \\ 7 + 2 = k \\ k = 9$

Nueva forma de S:

$s = 13_{7} + 25_{7} + 40_{7} + ... + 442_{7}$

Hallando la cantidad de términos (m) , sabiendo que es una pregresion aritmética con razón 9.

$442_{7} = 13_{7} + (m - 1) \times 9 \\ pasar \: a \: base \: 10 \\ 4 \times {7}^{2} + 4 \times 7 + 2 = 7 + 3 + 9m - 9 \\ 196 + 28 + 2 = 1 + 9m \\ 226 - 1 = 9m \\ m = \frac{225}{9} \\ m = 25$

Hay 25 términos, ahora hay que usar la fórmula para la suma de n términos de una progresión aritmética:

$s_{25} = \frac{25}{2} \times (13_{7} + 442_{7} ) \\ s_{25} = \frac{25}{2} \times (10 + 226) \\ s_{25} = \frac{25}{2} \times 236 \\ s_{25} = 25 \times 118 \\ s_{25} =2950$

S = 2950

Pasando S a base 7, por división sucesiva:

2950 | 7

421 | 7

3 60 | 7

1 4 8 | 7

1 1

$s = 11 \: 413_{7}$