Question

Se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijo

Answer 1

Pues es la definición de la elipse

Para "practicidad", pongamos a tales puntos fijos en F1=(-c,0) y F2=(c,0) y el punto movil P=(x,y) entonces

$d(P;F_1)+d(P;F_2)=k\\ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=k\\ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2}=k-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \\ \left(\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2=\left(k-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2\\ \\ (x+c)^2+y^2=k^2-2k\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\\ \\ (x+c)^2-(x-c)^2=k^2-2k\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \\ 4xc=k^2-2k\sqrt{(x-c)^2+y^2}$

$2k\sqrt{(x-c)^2+y^2}=k^2-4xc\\ \\ \left(2k\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2=\left(k^2-4xc\right)^2\\ \\ 4k^2\left[(x-c)^2+y^2\right]= k^4-8ck^2x+16x^2c^2\\ \\ 4k^2\left(x^2-2xc+c^2+y^2\right)= k^4-8ck^2x+16x^2c^2\\ \\ 4k^2x^2-8ck^2x+4k^2c^2+y^2= k^4-8ck^2x+16x^2c^2\\ \\ 4k^2x^2+4k^2c^2+y^2= k^4+16x^2c^2\\ \\ (4k^2-16c^2)x^2+y^2= k^4-4k^2c^2$

$\displaystyle (4k^2-16c^2)x^2+y^2= k^4-4k^2c^2\\ \\ \text{Como }k\ \textgreater \ 2c \hspace{3mm}\text{ entonces }\hspace{3mm} 4k^2-16c^2\ \textgreater \ 0\\ \\ x^2+\frac{y^2}{4k^2-16c^2}= \frac{k^4-4k^2c^2}{4k^2-16c^2}\\ \\ \\ x^2+\frac{y^2}{4k^2-16c^2}= \frac{k^2}{4}\\ \\ \\ \frac{x^2}{\frac{k^2}{4}}+\frac{y^2}{\frac{16k^2-64c^2}{k^2}}= 1\\ \\ \text{Si hacemos: }a^2 =\frac{k^2}{4} \text{ y } b^2=\frac{16k^2-64c^2}{k^2} \text{ tenemos }\\ \\ \\ \boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1}$