Question

AYUDENME PORFAS!!
Martín,padre de. Melisa decidió ahorrar cierta cantidad de dinero para el quinceañero de su hija por lo que ahorra cierta cantidad de dinero desde el primer cumpleaños de su hija, está cantidad fue aumentandoa una cierta razón.El recuerda que el sexto cumpleaños guardo 6400 soles, y en el noveno cumpleaños guardo 51200.

¿Cuánto dinero en total tendra guardado Martín para el cumpleaños esperaro de su hija?

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.  (PG)

Interpolación de términos.

Lo que tenemos ahí es una progresión geométrica construida del siguiente modo.

Martín ahorra una cantidad cada año para el cumpleaños de su hija y esa cantidad la multiplica por un número fijo llamado razón "r" cuyo resultado es lo que ahorra el año siguiente, y así hasta que Melisa cumple los 15 años.

Como recuerda la cantidad que ahorró el sexto año, esa cantidad será el valor del sexto término a₆  de la PG.

Igualmente recuerda la cantidad guardada el noveno año por lo que dicha cantidad será el valor del noveno término a₉ de la PG.

Con esos datos podemos hallar el valor de la razón, o sea, del número por el cual multiplica lo ahorrado cada año para saber lo que tiene que ahorrar el siguiente y ello se consigue con una fórmula basada en la interpolación de términos.

Interpolar términos en una PG consiste en contar los términos que hay que intercalar entre otros dos que están separados por varios términos.

En este caso, entre el sexto y el noveno hay que intercalar el 7º y el 8º término, es decir, 2 términos. A este valor lo representaré como "m" en la fórmula citada.

En dicha fórmula también representaré el valor del sexto término como "a" y el valor del noveno término como "b". Así pues, tenemos estos datos:

• 6º término = a = 6400
• 9º término = b = 51200
• Nº de términos a interpolar = m = 2

Y ya con eso nos vamos a la fórmula que dice:

$r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} } =\sqrt[2+1]{\dfrac{51200}{6400} }=\sqrt[3]{8} =2$

Con esa fórmula hemos obtenido el valor de la razón de la PG ... r = 2

Sabiendo ese dato ya podemos usar la fórmula general para este tipo de progresiones que dice:  $a_n=a_1*r^{n-1}$

De dicha fórmula vamos a calcular el valor del primer término  a₁  considerando que:

• aₙ = a₆ = 6400
• n = 6
• r = 2

Sustituyo valores en la fórmula y despejo  a₁  ...

$a_6=6400=a_1*2^{6-1} \\ \\ 6400=a_1*2^5\\ \\ a_1=\dfrac{6400}{32} =200$

Ahora ya sabemos el valor del primer término de esta PG que son 200 soles que ahorró el año que Melisa cumplió su primer año.

Eso significa que cada año duplicaba la cantidad que ahorraba ya que multiplicaba por 2 la cantidad ahorrada el año anterior.

Conocido ese dato ya solo nos queda sumar lo que ahorró cada año para saber el total guardado que es lo que nos pide calcular.

Para ello se usa la fórmula de SUMA de términos de una PG.

$S_n=a_1\ \dfrac{r^n\ -1}{r-1} \\ \\ \\ S_{15} ==200\ \dfrac{2^{15}\ -1}{2-1} =200\ \dfrac{16384-1}{1} =\boxed{3.276.600\ soles}$

Martín tendrá guardado un total de 3.276.600 soles

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

enserio

Explicación paso a paso: