Question

los ingresos de una empresa están dados por I(x)=-3x^2+3000x, el número de unidades que genera el máximo ingreso es:
a. 500
b. 1000
c. 750
d. 250

Answer 1

Necesitas calcular la derivada de la función:
$I(x)=-3x^2+3000x \\ I'(x)=-6x+3000$

Igualas la derivada a cero y despejas "x":
$-6x+3000=0 \\ 6x=3000 \\ x=3000/6=500 \\ \boxed{x=500}$

Opción A

Saludos!

Answer 2

Una forma es identificando que (x,I(x)) es una parábola que se abre hacia abajo, por ello el máximo se hallará en el vértice de esta parábola

$I(x)=-3(x^2-1000x)\\ \\ I(x)=-3(x^2-1000x+500^2-500^2)\\ \\ I(x)=-3[(x-500)^2-500^2]\\ \\ I(x)=-3(x-500)^2+(500^2)(3)$

Entonces notas que el vértice tiene abscisa x=500, y este el valor máximo del ingreso

La otra forma es derivando

$I'(x)=-6x+3000$

Hallas el punto crítico

$-6x+3000=0\iff x=500$

Hasta aquí no puedes afirmar si 500 es un extremo

Segunda derivada

$I''(x)=-6\ \textless \ 0$

Como la segunda derivada dio negativa, la curva (x,I(x)) se abre hacia abajo, indicando que 500 es un máximo