Question

. Una varilla de acero mide 3.000 cm de diámetro a 25 oC. Un anillo de latón tiene un diámetro interior de 2.992 cm a 25 oC. ¿A qué temperatura entrara justamente el anillo en la barra?

Answer 1

Sé sabe que los diámetros son cantidades lineales, por tanto, su dilatación lineal responderá a la ecuación:

d = d₀(1 + αΔT)

Donde α es el coeficiente de dilatación lineal del material, ΔT es la variación de temperatura y d₀ es la longitud del diámetro inicial.

El anillo entrará en la barra de manera justa cuando los diámetros sean iguales, por tanto:

$d_{Af} = d_{Lf}$

$d_{A}(1 + \alpha \Delta T) = d_{L}(1 + \alpha \Delta T)$

$d_{A}(1 + \alpha(T_f - T_0)) = d_{L}(1 + \alpha(T_f - T_0))$

$d_{A} + d_{A} \alpha_A T_f - d_{A} \alpha_A T_0 = d_{L} + d_{L} \alpha_L T_f - d_{A} \alpha_L T_0$

$d_{A} \alpha_A T_f - d_{L} \alpha_L T_f = d_{L} -d_{A} - d_{L} \alpha_L T_0 + d_{A} \alpha_A T_0$

$T_f(d_{A} \alpha_A - d_{L} \alpha_L ) = d_{L} -d_{A} - d_{L} \alpha_L T_0 + d_{A} \alpha_A T_0$

$T_f= \dfrac{d_{L} -d_{A} - d_{L} \alpha_L T_0 + d_{A} \alpha_A T_0}{d_{A} \alpha_A - d_{L} \alpha_L}$

$T_f= \dfrac{ d_{L}(1-\alpha_LT_0)+ d_{A}(\alpha_AT_0 - 1)}{d_{A} \alpha_A - d_{L} \alpha_L}$

Evaluamos sabiendo que:

• $d_A = 0.03\ m$
• $d_L = 0.02992\ m$
• $\alpha_A = 11\cdot 10^{-6} \ ^\circ C^{-1}$
• $\alpha_L = 19\cdot 10^{-6} \ ^\circ C^{-1}$
• $T_0 = 25^\circ C$

Sustituyendo:

$T_f= \dfrac{ (0.02992\ cm)[1-(19\cdot 10^{-6}\ ^\circ C^{-1})(25^\circ C)]+ (0.03\ cm)[(11\cdot 10^{-6}\ ^\circ C^{-1})(25^\circ C) - 1]}{(0.03\ cm) (11\cdot 10^{-6}\ ^\circ C^{-1}) - (0.02992\ cm) (19\cdot 10^{-6}\ ^\circ C^{-1})}$

$\boxed{T_f = 360.46\ ^\circ C}$

* Si se utiliza $\alpha_L = 18\cdot 10^{-6} \ ^\circ C^{-1}$ el resultado es 408.58 °C