Question

Si tan 75º= ¹3 +2 halla la tangente de los siguientes ángulos 15º, 105º,
255º, 285º y 345º.
urgente

Answer 1

Respuesta:Guía

Ya sabes que sin30∘=12,cos135∘=−2–√2,tan300∘=−3–√, etc., de los triángulos rectángulos especiales. En esta sección, aprenderemos a cómo encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos que no sean lo múltiplos de 30∘,45∘, y 60∘ . Usando las Fórmulas de Suma y Resta, es posible encontrar esos valores trigonométricos exactos.

Fórmulas de Suma y Resta

sin(a±b)cos(a±b)tan(a±b)=sinacosb±cosasinb=cosacosb±sinasinb=tana±tanb1±tanatanb

Ejemplo A

Fórmulas de Suma y Resta sin75∘ .

Solución: Este es un ejemplo de cuando podemos usar la fórmula de suma del seno, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb , donde a=45∘ y b=30∘ .

sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=2–√2⋅3–√2+2–√2⋅12=6–√+2–√4

En general, sin(a+b)≠sina+sinb y otros enunciados similares se pueden hacer para otras fórmulas de suma y resta.

Ejemplo B

Encuentra el valor exacto de cos11π12 .

Solución: Para este ejemplo, podemos usar tanto la fórmula de suma del coseno como la fórmula de resta, 11π12=2π3+π4 o 11π12=7π6−π4 . Sumemos la fórmula.

cos11π12=cos(2π3+π4)=cos2π3cosπ4−sin2π3sinπ4=−12⋅2–√2−3–√2⋅2–√2=−2–√+6–√4

Ejemplo C

Encuentra el valor exacto de tan(−π12) .

Solución: Este ángulo es la diferencia entre π4 y π3 .

tan(π4−π3)=tanπ4−tanπ31+tanπ4tanπ3=1−3–√1+3–√

Este ángulo también es igual a 23π12 . Podrías haber usado este valor y haber desarrollado tan(π4+5π3) y, de igual manera, habrías llegado a la misma respuesta.

Revisi�n del Problema Introductorio

Podemos usar la fórmula de suma del seno, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb , donde a=120∘ y b=45∘ .

sin165∘=sin(120∘+45∘)=sin120∘cos45∘+cos120∘sin45∘=3–√2⋅2–√2+−12⋅2–√2=6–√−2–√4

Explicación paso a paso: