Question

Seleccionar la integral definida en términos de y que corresponde al área de la región limitada por las gráficas de $y=x^{2}-2$ y $y=x+4$

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

las graficas de y=x^2-2 e y=x+4 intersectarán en los puntos cuando ambas tengan el mismo valor de y para el mismo valor de x, es decir hay que igualar las ecuaciones y averiguar en qúe valores de x adquieren los mismos valores para conocer los puntos que delimitan el área que encierran:

x^2-2=x+4

x^2 -2 -x -4 = 0

x^2 -x -6 = 0

Con el método de "completando cuadrados" o "completando el binomio" se obtiene que:

( x^2 -x ) -6 = 0

( x^2 -x + (-1/2)^2 - (-1/2)^2 ) -6 = 0

( x^2 -x  + (-1/2)^2 - (-1/2)^2 ) -6 = 0

( x^2 -x  + (-1/2)^2 - 1/4 ) -6 = 0

( x^2 -x  + (-1/2)^2 ) - 1/4  -6 = 0

(x -1/2)^2 -1/4 -6 = 0

(x -1/2)^2 -1/4 -24/4 = 0

(x -1/2)^2 -25/4 = 0

(x -1/2)^2 = 25/4

(x -1/2) = + -√(25/4)

x = 1/2 + - √(25/4)

x1 = -2   ;     x2 = 3

Supongamos x = 0 entonces:

y=x^2 -2   y(0) = 0 - 2 = -2

y= x+4      y(0) = 0 + 4 = 4

Lo que significa que x+4 es > que x^2 -2 entre el intervalo establecido.

La integral entre las dos gráficas que define el área entre esas 2 ecuaciones será de:

area de x + 4 - area de x^2-2 entre x= -2 y x = 3

S (x+4) dx - S (x^2 -2) dx     | -2 ; 3

(x^2 +4x ) - (x^3 /3 -2x)   | -2 ; 3

x^2 + 4x  -x^3 /3 +2x    | -2 ; 3

x^2 + 6x  -x^3 /3            | -2 ; 3

-x^3 /3   + x^2 + 6x        | -2 ; 3

[ -(3)^3 / 3 +(3)^2 +6*3 ] - [ -(-2)^3 /3  +(-2)^2 + 6*(-2) ]

-27/3 +9 +18 - [-8/3 +4 - 12]

-9 +9 +18 +8/3 -4 -12

= 8/3

El área debajo de la curva sería 8/3

Espero no haber tenido ningún error de calculo pero el método esta bien.