Question

En una progresión geométrica de cinco términos, el producto del primero y el
quinto es 2.500, y el segundo término es 20. ¿Cuánto vale la suma esos cinco
términos?

Answer 1

Tema: Razón de una progresión geométrica

⇒ $515.5$

Explicación paso a paso:

Para una progresión geométrica se cumplen dos condiciones:

Primer condición:

$\boxed{a_n= a_1*r^{n-1}}$             Ec.1

Segunda condición:

$\boxed{r= \frac{a_{n+1}}{a_n}}$                     Ec.2

De acuerdo al enunciado conocemos:

$a_2=20\\\\a_1*a_5=2'500$

Despejamos:

$a_5=\frac{2500}{a_1}$

Si evaluamos n=5 en la ecuación 1 y sustituimos:

$a_5= a_1*r^{5-1}\\\\\frac{2500}{a_1}=a_1*r^{4}\\\\\boxed{2'500=(a_1) ^2*r^4}$             Ec.3

Ahora, podemos sustituir en la ec. 2 con n=1:

$r= \frac{a_{1+1}}{a_1}\\\\ r= \frac{a_{2}}{a_1}\\\\a_1=\frac{a_2}{r}$

Sustituimos en la Ec.3:

$2'500=(\frac{a_2}{r}) ^2*r^4\\\\2'500=(\frac{(a_2)^2}{r^2}) *r^4\\\\2'500=(a_2)^2*r^2\\\\\boxed{r=\sqrt{\frac{2'500}{(a_2)^2} } }$

Como conocemos el valor del segundo término $a_2$ solo hay que sustituirlo para obtener r:

$r=\sqrt{\frac{2'500}{(20)^2} } \\\\r=2.5$

Ahora que conocemos la razón, podemos obtener fácilmente los términos faltantes (basándonos en la ecuación 2 )

n=1             n=2            n=3          n=4           n=5

8                20              50           125           312.5

Solo resta sumarlos para encontrar la respuesta:

$8+20+50+125+312.5=515.5$

https://brainly.lat/tarea/10476258