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El conjunto de partes de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. Esto incluye los subconjuntos formados por todos los miembros de S y el conjunto vacío. Si un conjunto finito S tiene cardinal n, entonces su conjunto de partes tiene cardinal 2n. La notación usada para el conjunto de partes es P(S).
Si un conjunto S es infinito (numerable o no numerable) entonces su conjunto de partes siempre es no numerable. Es más, si S es un conjunto, entonces jamás se puede establecer una biyección entre S y P(S). O en otras palabras P(S) es siempre estrictamente mayor que S.
Como ejemplo el conjunto de partes de {1, 2, 3} es {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. La cardinalidad del conjunto original es 3, y la del conjunto de partes es 2³= 8.
Cardinalidad
La cardinalidad |S| de un conjunto es "el número de elementos de S". Por ejemplo, como la bandera de Francia tiene tres colores, |B|= 3.
Existe un conjunto único que no contiene elementos y cuyo cardinal es 0, éste es llamado conjunto vacío (o conjunto nulo) y se nota por el símbolo ∅. Por ejemplo el conjunto de todos los cuadrados de 3 lados es vacío. Aunque parezca trivial la existencia de este conjunto es fundamental para la teoría axiomática de conjuntos.
Algunos conjuntos tienen cardinalidad infinita. El conjunto de los números naturales por ejemplo, es más algunos cardinales infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de los números reales tiene un cardinal mayor que el conjunto de los números naturales. Sin embargo se puede demostrar que la cantidad de puntos en una línea recta tiene el mismo cardinal que cualquier segmento de ella, o que el plano, o que cualquier espacio euclidiano de dimensiones finitas.
Conjuntos Especiales
Existen algunos conjuntos que tienen gran importancia matemática y que se nombran tan regularmente en la teoría de conjuntos que tienen nombres especiales y se adoptaron convenciones especiales para referirse a ellos. Alguno de ellos son:
P que es el conjunto de los números primos
N conjunto de los números Naturales
Z conjunto de los números Enteros.
Q conjunto de los números Racionales
R conjunto de los números Reales.
C conjunto de los números Complejos
Cualquiera de los anteriores tiene infinitos elementos, y cada uno de ellos puede considerarse como un subconjunto de los siguientes en la lista.
Operaciones Básicas
Existen algunas operaciones Básicas que permiten construir conjuntos nuevos a partir de otros dados.