Question

Se contrata a un vendedor para venta de autos prometiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto vendido. Si vende 12 autos y recibe por ellos S/. 12285, ¿Cuánto le pagaron por el cuarto auto vendido?

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Problemas prácticos

Este problema se resuelve por progresiones geométricas (en adelante las llamaré PG) ya que podemos extrapolar los datos del texto a una PG donde nos dan el valor del doceavo término  a₁₂ = 12285 que es la comisión cobrada por el 12º auto vendido.

Nos pregunta lo que le pagaron por el cuarto auto vendido, es decir que tenemos que calcular el valor del cuarto término de esta PG y para ello contamos con estos datos:

• Razón de la PG ... r = 2 (número por el cual se multiplica cada comisión cobrada por la venta de un auto para calcular lo que se le pagará por la venta del siguiente auto)
• Suma de los 12 términos ... Sₙ = S₁₂ = 12285 (lo acumulado cuando vendió el auto nº 12)
• Número de términos de la PG en relación a ese último ... n = 12

Hay que tener muy en cuenta que lo que esa comisión es LA SUMA DE COMISIONES acumuladas por la venta de los 12 autos, así que eso se traslada a una PG como SUMA DE TÉRMINOS DE UNA PG que tiene una fórmula específica que dice:

$\boxed{S_n=a_1*\dfrac{r^n\ -1}{r-1} }$

Como sabemos el valor de Sₙ = 12285 y el valor de r = 2, sustituyo en esa fórmula, despejo a₁ y así cumplo el primer paso de la solución:

$12285=a_1*\dfrac{2^{12}\ -1}{2-1} \\ \\ \\ a_1=\dfrac{12285}{4096-1} =3$

Esto nos dice que por el primer auto vendido (1º término de la PG, a₁) le pagaron 3 soles

A partir de ese valor ya podremos calcular el valor del 4º término que nos piden.

La fórmula en cuestión dice:  $\boxed{a_n=a_1*r^{n-1}}$

Para nuestro caso particular consideramos que  aₙ = a₄ así que sustituyo en la fórmula :

$a_4=3*2^{4-1}=3*2^3=3*8 = 24$

Respuesta: por el 4º auto vendido le pagaron 24 soles

Saludos.