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Respuesta:
Explicación paso a paso:
a clave para resolver ecuaciones exponenciales son los logaritmos! Veámoslo con más detalle por medio de algunos ejemplos.
Resolver ecuaciones exponenciales de la forma a\cdot b^x=da⋅b
x
=da, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d
Resolvamos 5\cdot 2^x=2405⋅2
x
=2405, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
Para resolver para xxx primero debemos aislar la parte del exponente. Para hacer esto, dividimos ambos lados por 555. No multiplicamos el 555 por el 222, pues ¡este no es el orden correcto de las operaciones!
\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
5⋅2
x
2
x
=240
=48
Ahora podemos resolver para xxx si convertimos la ecuación a forma logarítmica.
\blueD{2}^\greenD x= \goldD{48}2
x
=48start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 es equivalente a \log_{\blueD{2}}(\goldD{48})=\greenD{x}log
2
(48)=xlog, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
¡Y así de simple hemos resuelto la ecuación! La solución exacta es x=\log_2(48)x=log
2
(48)x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Como 484848 no es una potencia racional de 222, debemos usar la regla de cambio de base y nuestra calculadora para evaluar el logaritmo. Esto se muestra a continuación.
\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Regla de cambio de base}}} \\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{Evalúa con calculadora}}} \end{aligned}
x
=log
2
(48)
=
log(2)
log(48)
≈5,585
Regla de cambio de base
Eval
u
ˊ
a con calculadora
Resolvemos el sistema de ecuaciones presentados, obteniendo los valores de x e y respectivamente
¿Cómo resolver el sistema?
Debemos realizar operacions de manera de poder o lograr resolver el problema, primeramente, tratando de llevar a un problema de una variable
Resolución del sistema de ecuaciones
Lo primero que haremos es multiplicar la ecuación número 2 o segundo por 2:
Usaremos y = n
3. 2ˣ + 2*5ⁿ⁻¹ = 34
Restamos la ecuación 3 con la primera:
2*5ⁿ⁻¹ + 5ⁿ = 31
Vemos que ya tenemos una ecuación exponencial de una variable, sacamos factor común 5ⁿ⁻¹
5ⁿ⁻¹*(2 + 5) = 31
5ⁿ⁻¹ = 31/7
Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:
(n - 1)*ln(5) = ln(31/7)
n - 1 = ln(31/7)/ln(5)
n = ln(31/7)/ln(5) + 1 = y
Para encontrar el valor de "x" en lugar de sustituir repetimos un procedimiento similar:
o primero que haremos es multiplicar la ecuación número 2 o segundo por 5:
Usaremos y = n
3. 5*2ˣ⁻¹ + 5ⁿ = 85
Restamos la ecuación 3 con la primera:
5*2ˣ⁻¹ - 2ˣ = 85
Vemos que ya tenemos una ecuación exponencial de una variable, sacamos factor común 2ˣ⁻¹
2ˣ⁻¹*(4 - 1) = 85
2ˣ⁻¹ = 85/3
x - 1 = ln(85/3)/ln(2)
x = ln(85/3)/ln(2) + 1
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