Question

Calcular las dimensiones del triangulo isósceles de mayor área que se pueda inscribir en un circulo de radio 16

Answer 1

Véase la figura adjunta.

S = 1/2 B H

H = R + R sen(a)

B = 2 R cos(a)

Por lo tanto S = 1/2 [R + R sen(a)] 2 R cos(a); 

o bien S = R² [1 + sen(a)] cos(a)

Se observa que S es función de a (ángulo)

La condición de máximo exige que la derivada de S respecto de a sea nula.

S' = R² [cos(a) cos(a) + (1 + sen(a)) (-sen(a)]

S' = R² [cos²(a) - sen(a) - sen²(a)]; expresamos todo en función de sen(a)

S' = R² [1 - sen²(a) - sen(a) - sen²(a)]

S' = R² [1 - sen(a) - 2 sen²(a)]  = 0. o bien:

2 sen²(a) + sen(a) - 1 = 0; es una ecuación de segundo grado en sen(a)

Sus raíces son: sen(a) = 1/2; sen(a) = - 1. La última se descarta

por lo tanto a = 30°

B = 2 . 16 . cos(30°) = 27,7

H = 16 + 16 sen(30)° = 24 

S = 1/2 . 27,7 . 24 = 332,4

Calculemos uno de los lados iguales:

L = √[(27,7 / 2)² + 24²] = 27,7

Por lo tanto el triángulo de mayor superficie es un triángulo rectángulo.

Saludos Herminio