Question

3) Con 80 m de malla metálica se quiere cercar un terreno que tiene forma de un rectángulo donde se construirá una casa. ¿Cuál es la mayor área que podría tener la casa? ayuda

Answer 1

Tema: Problemas de optimización

⇒ $A_{Max}=400m^2$

Explicación paso a paso:

Como el problema nos pide encontrar los valores que nos permiten tener la mayor área utilizaremos el criterio de máximos y mínimos, comenzando primeramente por definir nuestras ecuaciones.

Por el enunciado sabemos que el terreno tiene forma rectangular. El perímetro de un rectángulo se calcula como 2 veces la medida de la base más dos veces la medida de su altura:

$P=2b+2h$

Como sabemos que el perímetro es 80:

$\boxed{2b+2h=80} \text{ Ec.1}$

También se sabe que el área de un rectángulo es:

$A=b\times h$

En este caso queremos que el área sea máxima:

$\boxed{b \times h=Max} \text{ Ec.2}$

Despejamos h (aunque también podría ser b) de la ecuación 1:

$h=\frac{80-2b}{2} \\\boxed{h=40-b} \text{ Ec.3}$

y sustituimos en la ecuación 2:

$b \times (40-b)=Max\\\\\boxed{-b^2+40b=Max} \text{ Ec.4}$

En este caso nos interesa conocer el valor que maximiza el área, para ello nuestra función tiene que ser derivable en f'(b) y f''(b), además f''(b)<0.

Llamaremos a la ec. 4:

$f(b)=-b^2+40b$

Ahora, obtenemos la derivada de f'(b)

$f'(b)=-2b+40$

Igualamos esta función a 0 y obtenemos el valor de b:

$-2b+40=0\\-2b=-40\\b=20m$

Obtenemos la segunda derivada:

$f''(b)=-2$

Con esto queda comprobado que b es un máximo. Solo resta encontrar el valor de h de la ecuación 3:

$h=40-(20)\\h=20m$

Entonces los valores que hacen posible esta condicion son:

altura=20m

base=20m

Parece contradictorio puesto que la figura resultante es un cuadrado. Sin embargo si consideramos que el cuadrado solo es un caso especial de rectángulo en el que sus lados miden lo mismo, la respuesta es correcta.

Finalmente obtenemos el área máxima:

$-b^2+40b=A_{Max}\\-(20)^2+40(20)=A_{Max}\\-400+800=A_{Max}\\A_{Max}=400m^2$

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: