usar el teorema de taylor para hallar la solución en serie de 〖xy^''+2y〗^'=xy con y (1)=1 y en y '(1)=0.
Respuestas
El método delas series de potencias o coeficientes indeterminados consiste
en suponer una solución en la forma y() ( ) ( ) x a x x S P n
n
n . 0
0
=∑ −
∞
=
. Esta ecuación
se deriva tantas veces como sea necesario para obtener expresiones en serie de
todas las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial y se reemplazan en la
ecuación diferencial dada para obtener los coeficientes . an La dificultad de este
método es la manipulación de las series que se puedan necesitar y la obtención de
los coeficientes de las series.
Pero los métodos son esencialmente los mismos. En efecto, los coeficientes que
aparecen en la serie de potencias, an y los coeficientes en el método de Taylor ,
( )( )
!
0
n
y x n
vienen relacionados por la formula
( )
( )
!
0
n
y x
a
n
n = . La solución por el
método de Taylor viene dada por
( )
( ) ∑ ( )() ∞
=
= −
0
0
0 . . ! ( )
n
n n
x x S T
n
y x
y x
En el libro de ecuaciones diferenciales [1] 1
utilizan ambos métodos para resolver
el siguiente problema de valor inicial:
Ejemplo 1. Resolver el problema de valor inicial
, (0) 1 ( ) 1.1 2
= = − e y dx
dy x
Solución.
Observar que la solución de (1.1) se puede escribir como ( ) 1 . 0
2
y x e dt
x
t
∫ − = +
Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto
no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos
que conformarnos con alguna aproximación numérica.
Apliquemos inicialmente el método de Taylor. Para esto debemos calcular las
derivadas sucesivas y evaluándolas en x = 0 para obtener: