Question

I. Hallar los tres elementos que faltan en cada uno de los tres triángulos PQR , con base a la información proporcionada en cada inciso:

1) p = 9.5 cm, Q = 62° y r = 11.5 cm


2) p = 25 cm, q = 30 y r = 35 cm

3) P = 29° 35’, q = 12.75 cm y r = 10.85 cm

Answer 1

En cada triángulo los datos que faltan son:

Triángulo 1: R=46°50'24''; P=71°9'36''; q=13,9cm

Triángulo 2: P=44°25'12''; Q=57°7'12''; R=78°27'36''

Triángulo 3: p=6,3cm; Q=87°35'18''; R=62°50'13''

Explicación paso a paso:

Para hallar los elementos faltantes en los triángulos hacemos uso de los teoremas del seno y del coseno:

1) Si asumimos que Q es el ángulo opuesto al lado q aplicamos teorema del seno:

$\frac{q}{sen(Q)}=\frac{p}{sen(P)}=\frac{r}{sen(R)}$

Del primer y tercer miembro hallamos el ángulo R:

$R=sen^{-1}(\frac{p}{r}sen(Q))=sen^{-1}(\frac{9,5}{11,5}sen(62\°))=46,84\°=46\°50'24''$

El ángulo R se halla por el teorema de los ángulos internos:

P=180°-46,84°-62°=71,16°=71°9'36''

Con estos datos, usando el teorema del seno (primer y tercer miembro) hallamos el lado q:

$q=\frac{r}{sen(R)}.sen(Q)=\frac{11,5}{sen(46,84\°)}.sen(62\°)=13,9cm$

2) Aquí podemos empezar aplicando el teorema del coseno con los tres lados para hallar uno de los ángulos:

$r^2=p^2+q^2-2pq.cos(R)\\\\cos(R)=\frac{r^2-p^2-q^2}{-2pq}=\frac{35^2-25^2-30^2}{-2.25.30}=0,2\\\\R=cos^{-1}(0,2)=78,46\°=78\°27'36''$

Y luego hallamos con el mismo teorema otro de los ángulos:

$p^2=q^2+r^2-2qr.cos(P)\\\\cos(P)=\frac{p^2-q^2-r^2}{-2qr}=\frac{25^2-30^2-35^2}{-2.30.35}=0,714\\\\P=cos^{-1}(0,714)=44,42\°=44\°25'12''$

Y con el teorema de los ángulos internos hallar el ángulo restante:

Q=180°-78,46°-44,42°=57,12°=57°7'12''

3) Considerando que P es el ángulo opuesto al lado p, es el ángulo que forman los lados q y r. Aplicando el teorema del coseno queda:

$p=\sqrt{q^2+r^2-2qr.cos(P)}=\sqrt{12,75^2+10,85^2-2(12,75)(10,85).cos(29\°35')}\\\\p=6,3cm$

Con este dato aplicamos el teorema del seno para hallar el ángulo Q:

$\frac{p}{sen(P)}=\frac{q}{sen(Q)}\\\\Q=sen^{-1}(\frac{q.sen(P)}{p})=sen^{-1}(\frac{12,75.sen(29\°35')}{6,3})\\\\Q=87,58\°=87\°35'18''$

Con el teorema de los ángulos internos hallamos el ángulo R:

R=180°-29°35'-87°35'18''=62°50'13''