• ¿Cuál es el punto centro de la homotecia?
Respuestas
Respuesta:
esta es la reaspuesta y si no te ofresco una disculpa
Explicación paso a paso:
En geometría, un centro de homotecia (también llamado centro de semejanza o centro homotético) es un punto desde el cual se pueden ver al menos dos figuras geométricamente semejantes como dilatación o contracción la una de la otra. Si el centro es «externo», las dos figuras son directamente semejantes entre sí, y por lo tanto, sus ángulos tienen el mismo sentido de rotación. Si el centro es «interno», las dos figuras son imágenes especulares escaladas entre sí, y sus ángulos tienen sentido opuesto.
Polígonos generales
Los centros de homotecia externo (arriba) e interno (abajo) de los dos círculos (rojo) figuran como puntos en color negro.
Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son semejantes entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y diferir solo en su escala relativa. El centro homotético y las dos figuras no necesitan estar en el mismo plano; también se pueden relacionar mediante una proyección tridimensional desde un centro de homotecia.
Los centros de homotecia pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes escaladas especulares la una de la otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta. Un ángulo en el sentido de las agujas del reloj en una figura correspondería a un ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj en la otra. Por el contrario, si el centro es externo, las dos figuras son directamente semejantes entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido.
Círculos
Los círculos son geométricamente semejantes entre sí y presentan simetría especular respecto a cualquier diámetro. Por lo tanto, un par de círculos poseen indistintamente ambos tipos de centros homotéticos, internos y externos, a menos que los centros sean coincidentes, o sus dos radios sean iguales. Estos casos excepcionales se tratan más adelante, según su posición general. Los dos centros de homotecia se encuentran en la línea que une los centros de las dos circunferencias dadas, que se llama la «recta de centros» (Figura 3). También se pueden incluir círculos con radio cero (véanse los casos excepcionales), y así mismo se puede usar el radio negativo, conmutando los centros externo e interno.
Determinación de centros de homotecia
Figura 3: Dos círculos poseen los dos tipos de centros de homotecia, el interno (I) y el externo (E). Sus radios (r1 y r2) son proporcionales a la distancia (d) al centro de homotecia. Los puntos A1 y A2 son homotéticos, al igual que los puntos B1 y B2.
Para un par de círculos dados, los centros de homotecia internos y externos se pueden localizar de varias maneras. En geometría analítica, el centro de homotecia interno se obtiene como la media ponderada de los centros de los círculos, ponderados por el radio del círculo opuesto: la distancia desde el centro del círculo al centro interno es proporcional a ese radio, por lo que la ponderación es proporcional al radio opuesto. Denotando los centros de los círculos como {\displaystyle C_{1}}{\displaystyle C_{1}} y {\displaystyle C_{2}}{\displaystyle C_{2}} por {\displaystyle (x_{1},y_{1})}{\displaystyle (x_{1},y_{1})} y {\displaystyle (x_{2},y_{2})}{\displaystyle (x_{2},y_{2})} y sus radios por {\displaystyle r_{1}}r_{1} y {\displaystyle r_{2}}r_{2}; y designando el centro por {\displaystyle (x_{0},y_{0}),}{\displaystyle (x_{0},y_{0}),} esto es: {\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}{\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).} El centro externo se puede calcular con la misma ecuación, pero considerando uno de los radios como negativo; cualquiera de los dos produce la misma ecuación, que es:{\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}{\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}