Question

calcule el area de la region de un octogono regular inscrito en una circunferenciade radio 2

Answer 1

Si trazamos al extremo de uno de los lados del octógono un radio y al otro extremo del mismo lado otro radio, se forma un triángulo isósceles.
El ángulo central de ese triángulo isósceles mide:
360 ÷ 8 = 45º
Por tanto cada uno de los otros dos ángulos iguales del triángulo miden:
(180 - 45) / 2 = 67,5º

Ahora mediante el teorema del seno podemos hallar el lado desigual del triángulo isósceles, que pertenece a un lado del octógono regular:
L = lado del octógono y del triángulo isósceles.

$\frac{2}{sen67,5}= \frac{L}{sen45} \\ \\ L= \frac{2*sen45}{sen67,5}=1,531$

Ya sabemos lo que mide el lado del octógono regular, 1,531.

Como el área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema partido por dos, vamos a averiguar cuanto mide la apotema ya que el perímetro lo tenemos ya cazado al conocer el lado.

Trazamos la altura del triángulo isósceles que corresponde a la apotema del octógono regular. Esta altura divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales, por tanto mediante Pitagoras vamos a hallar la altura:
A = altura del triángulo isósceles y apotema del octógono.
1,531/2 = 0,7655 mide un cateto.
2 = hipotenusa.

$A= \sqrt{2^{2}-0,7655^{2}}=1,8477$

Ya sabemos lo que mide la apotema del octógono regular, 1,8477.

El perímetro del octógono es igual a:
1,531×8 = 12,248.

Por tanto el área del octógono es igual a:
S = superficie o área del octógono regular.

$S= \frac{12,248*1,8477}{2}=11,3153148$

El área del octógono inscrito en la circunferencia mide: 11,3153148.