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Respuesta:
En las progresiones geométricas (PG), cada término se obtiene a partir de multiplicar el término anterior por una cantidad fija llamada razón "r"
1) Si lo que nos dan es varios términos consecutivos de la progresión, simplemente dividiendo un término entre el anterior a él conoceremos la razón. En este caso:
a₁ = 1/2
a₂ = 1/4
r= \frac{a_2}{a_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}r=
a
1
a
2
=
1/2
1/4
=
2
1
Igualmente, si divido... 1/8 : 1/4 = 1/2, por tanto la razón es 1/2 y efectivamente se trata de una PG.
El término general de cualquier PG se obtiene de esta fórmula:
a_n=a_1* r^{n-1}a
n
=a
1
∗r
n−1
... sustituyendo el valor de a₁ y r ...
\begin{lgathered}a_n= \frac{1}{2}* (\frac{1}{2})^{n-1} \\ \\ a_n=( \frac{1}{2})^n \\ \\ a_n= \frac{1}{ 2^{n} }\end{lgathered}
a
n
=
2
1
∗(
2
1
)
n−1
a
n
=(
2
1
)
n
a
n
=
2
n
1
Como nos pide el término a₂₀, diré que a_n= a_{20}a
n
=a
20
y por tanto...
a_{20} = \frac{1}{ 2^{20} }a
20
=
2
20
1
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2) Me dan dos datos.
Razón ... r= \frac{1}{3}r=
3
1
a_5 = 2a
5
=2
Acudiendo a la fórmula del término general se puede obtener a_1a
1
a_5=2 = a_1* (\frac{1}{3}) ^{5-1}a
5
=2=a
1
∗(
3
1
)
5−1
... despejando...
a_1= \frac{2}{(\frac{1}{3}) ^{5-1}}= \frac{2}{ \frac{1}{ 3^{4} } }= 2*81=162a
1
=
(
3
1
)
5−1
2
=
3
4
1
2
=2∗81=162
Sabiendo el valor del primer término ya solo hay que ir multiplicándolo por su razón para ir obteniendo los siguientes hasta llegar al décimo.
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3)
a₁ = 3
r = 2
Con el término general se puede calcular a₁₅ que será el término enésimo.
a_{15} =3* 2^{15-1} =49152a
15
=3∗2
15−1
=49152
La fórmula de la suma de términos de una PG dice:
S_n= \frac{a_n*r-a_1}{r-1} = \frac{49152*2-3}{2-1} =98301S
n
=
r−1
a
n
∗r−a
1
=
2−1
49152∗2−3
=98301
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4)
a_4=128a
4
=128
r=4r=4
De nuevo acudo al término general para despejar a₁ ...
a_1= \frac{128}{ 4^{(4-1)} } = \frac{128}{64} =2a
1
=
4
(4−1)
128
=
64
128
=2
Calculo ahora el término octavo a₈
a_8=2* 4^{(8-1)} =32768a
8
=2∗4
(8−1)
=32768
De nuevo acudo a la fórmula de la suma...
S_8= \frac{32768*4-2}{4-1} =43690S
8
=
4−1
32768∗4−2
=43690
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5)
S₁₀ = 29524
r = 3
Aquí hay que usar las dos fórmulas a la vez para que nos salga un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Una será a₁ , que es el dato que nos pide solucionar, y la otra será a₁₀
Fórmula de la suma: 29524 = \frac{ a_{10}*3-a_1 }{3-1}29524=
3−1
a
10
∗3−a
1
Ahí tenemos una ecuación.
La otra sale del término general: a_{10} =a_1* 3^{(10-1)}a
10
=a
1
∗3
(10−1)
Resolviendo ese sistema de ecuaciones se obtiene el valor pedido de a₁
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6)
Es similar al nº 4. Cógelo como modelo y resuelvelo.
Saludos.