Question

Lim((√9+h)-3)/h cuando h tiende a 0
lim((√x-b)-(√a-b))/(x^2-a^2) cuando x tiende a a

Answer 1

Debemos desaparecer la indeterminación.

$\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\frac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}$

$\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}$

Entonces calculemos el límite
$\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}\right)=\frac{1}{6}$
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$\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{(x-a)(x+a)}=\frac{(\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b})(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b})}{(x-a)(x+a)(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b})}$

$\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{(x-a)(x+a)}=\frac{x-a}{(x-a)(x+a)(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b})}$

$\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{(x+a)(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b})}$

Llevamos al límite

$\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{(x+a)(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b})}=\frac{1}{4a\sqrt{a-b}}$