Question

Multiplicadores de Lagrange
f(x,y)=x+3y
con la restricción Xcuadrada + Ycuadrada =1

La posible solución seria: X=+- 1/raiz de 10 & Y=+-3/raiz de 10

Espero me puedan ayudar pf., gracias!

Answer 1

Como la circunferencia $x^2+y^2=1$ es cerrada, entonces hay extremo

La ecuación subsidiaria $G(x,y)=x^2+y^2-1=0$
Entonces la función de Lagrange es

$F(x,y)=x+3y-\lambda(x^2+y^2-1)$

Hallemos los puntos estacionarios

$F_x=1-2\lambda x=0\Rightarrow \lambda =1/2x\\ F_x=3-2\lambda y=0\Rightarrow \lambda =3/2y$

Notemos que (0,0) no está en la circunferencia, entonces tenemos

$y=3x$

reemplazamos esto en la ecuación subsidiaria

$(3y)^2+y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{\sqrt{10}}$

$x=\pm\frac{1}{3\sqrt{10}}$

entonces los puntos estacionarios son

$\left(\frac{1}{3\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ ....(1)
$\left(-\frac{1}{3\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$....(2)

ahora debemos averiguar cual de estos puntos es máximo o mínimo.
Al igual que en las derivadas ordinarias se debe ver el signo (de una forma cuadrática diferencial), con ayuda del criterio de Sylvester

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Para ello necesitaremos las segundas derivadas
$F_{xx}=-2\lambda_1$
$F_{xy}=F_{yx}=0$
$F_{yy}=-2\lambda_1$

para el punto (1) tenemos a 
$\lambda_1=\frac{3\sqrt{10}}{2}$

          $F_{xx}=-\frac{3\sqrt{10}}{2}\ \textless \ 0$

y luego
$F_{xx}F_{yy}-(F_{xy})^2=\frac{45}{2}>0$

Entonces el signo de la forma cuadrática es negativa y por ende el punto (1), es un máximo

Y se deduce que el punto (2) es un mínimo. 

No era necesario aplicar esta regla, ya que puse en el inicio que la función f tiene extremos sobre la circunferencia unitaria.