Question

Un polinomio de tercer grado cuyo coeficiente principal es 1, al dividirlo por x+1, x-1 y x+2, se obtienen, respectivamente, restos igual a -2, 0 y -15. Determine el polinomio.

Answer 1

Según el teorema del resto se cumple que cuando tememos P(x) / (x - a), el resto de la división es R = P(a)

Sea P(x) = x³ + a x² + b x + c el polinomio buscado.

R = P(- 1) = - 2 = - 1 + a  - b + c; (1)

R = P(1) = 0 = 1 + a + b + c = 0; (2)

R = P(- 2) = - 15 = - 8 + 4 a - 2 b + c; (3)

Retamos (1) - (2): - 2 = - 2 b - 2; por lo tanto es b = 0

Reemplazamos en (2) y (3)

a + c + 1 = 0; (4)

4 a + c - 8 = - 15; (5)

Restamos (5) - (4): 3 a - 9 = - 15; por lo tanto a = - 2

Resulta entonces  c = 1 

Finalmente P(x) = x³ - 2 x² + 1 

Saludos Herminio