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1. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al número 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores?
Descompones a 420 como producto de factores primos:
![420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7 420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7](https://tex.z-dn.net/?f=420%3D2%5E2%5Ccdot3%5Ccdot5%5Ccdot7)
Lo quieres multiplicar por 12 "x" veces para que ese número tenga 180 divisores:
Para calcular sus divisores debes sumarle 1 al exponente y multiplicarlos entre si:
![(2x+2+1)(x+1+1)(1+1)(1+1)= \\ (2x+3)(x+2)(2)(2)=4(2x+3)(x+2) \\ 4(2x^2+7x+6)= \\ 8x^2+28x+24 (2x+2+1)(x+1+1)(1+1)(1+1)= \\ (2x+3)(x+2)(2)(2)=4(2x+3)(x+2) \\ 4(2x^2+7x+6)= \\ 8x^2+28x+24](https://tex.z-dn.net/?f=%282x%2B2%2B1%29%28x%2B1%2B1%29%281%2B1%29%281%2B1%29%3D+%5C%5C+%282x%2B3%29%28x%2B2%29%282%29%282%29%3D4%282x%2B3%29%28x%2B2%29+%5C%5C+4%282x%5E2%2B7x%2B6%29%3D+%5C%5C+8x%5E2%2B28x%2B24)
Quieres que el número de divisores sea 180:
![8x^2+28x+24=180 \\ 8x^2+28x-156=0 \\ 2x^2+7x-39=0 \\ (2x+13)(x-3)=0 \\ x_1=-13/2 \\ x_2=3 8x^2+28x+24=180 \\ 8x^2+28x-156=0 \\ 2x^2+7x-39=0 \\ (2x+13)(x-3)=0 \\ x_1=-13/2 \\ x_2=3](https://tex.z-dn.net/?f=8x%5E2%2B28x%2B24%3D180+%5C%5C+8x%5E2%2B28x-156%3D0+%5C%5C+2x%5E2%2B7x-39%3D0+%5C%5C+%282x%2B13%29%28x-3%29%3D0+%5C%5C+x_1%3D-13%2F2+%5C%5C+x_2%3D3)
Tomas la solución positiva: x=3
Esto quiere decir que debes multiplicar 3 veces a 420 por 12 para que tenga 180 divisores
2. Calcular (a+b), si el numero N =36^a·5^b tiene 96 divisores compuestos
Descompones tu número como producto de factores primos:
![N=36^a\cdot5^b=(6^2)^a\cdot5^b \\ =6^{2a}\cdot5^b=(3\cdot2)^{2a}\cdot5^b \\ =2^{2a}\cdot3^{2a}\cdot5^b N=36^a\cdot5^b=(6^2)^a\cdot5^b \\ =6^{2a}\cdot5^b=(3\cdot2)^{2a}\cdot5^b \\ =2^{2a}\cdot3^{2a}\cdot5^b](https://tex.z-dn.net/?f=N%3D36%5Ea%5Ccdot5%5Eb%3D%286%5E2%29%5Ea%5Ccdot5%5Eb+%5C%5C+%3D6%5E%7B2a%7D%5Ccdot5%5Eb%3D%283%5Ccdot2%29%5E%7B2a%7D%5Ccdot5%5Eb+%5C%5C+%3D2%5E%7B2a%7D%5Ccdot3%5E%7B2a%7D%5Ccdot5%5Eb)
Calculas su número de divisores sumando 1 a los exponentes y multiplicándolos entre sí:
![(2a+1)(2a+1)(b+1) (2a+1)(2a+1)(b+1)](https://tex.z-dn.net/?f=%282a%2B1%29%282a%2B1%29%28b%2B1%29)
Al número de divisores le restas los divisores que no son compuestos, que en este caso son 1, 2, 3 y 5; es decir, le restas 4 y lo igualas a 96 que es la cantidad de divisores compuestos que quieres tener:
![(2a+1)(2a+1)(b+1)-4=96 \\ (2a+1)(2a+1)(b+1)=100 \\ (2a+1)^2(b+1)=100=5^2\cdot2^2 (2a+1)(2a+1)(b+1)-4=96 \\ (2a+1)(2a+1)(b+1)=100 \\ (2a+1)^2(b+1)=100=5^2\cdot2^2](https://tex.z-dn.net/?f=%282a%2B1%29%282a%2B1%29%28b%2B1%29-4%3D96+%5C%5C+%282a%2B1%29%282a%2B1%29%28b%2B1%29%3D100+%5C%5C+%282a%2B1%29%5E2%28b%2B1%29%3D100%3D5%5E2%5Ccdot2%5E2)
Aquí debes analizar dos cosas:
(2a+1)² puede ser 5² ó puede ser 2²
Pruebas con 2²:
(2a+1)² = 2²
2a+1 = 2
2a = 1
a = 1/2
Pero "a" debe ser un número natural, entonces tomas la otra opción:
![(2a+1)^2=5^2 \\ 2a+1=5 \\ 2a=4 \\ \boxed{a=2} \\ \\ b+1=2^2\\b+1=4 \\ \boxed{b=3} \\ \\ \boxed{a+b=2+3=5} (2a+1)^2=5^2 \\ 2a+1=5 \\ 2a=4 \\ \boxed{a=2} \\ \\ b+1=2^2\\b+1=4 \\ \boxed{b=3} \\ \\ \boxed{a+b=2+3=5}](https://tex.z-dn.net/?f=%282a%2B1%29%5E2%3D5%5E2+%5C%5C+2a%2B1%3D5+%5C%5C+2a%3D4+%5C%5C+%5Cboxed%7Ba%3D2%7D+%5C%5C+%5C%5C++b%2B1%3D2%5E2%5C%5Cb%2B1%3D4+%5C%5C+%5Cboxed%7Bb%3D3%7D+%5C%5C++%5C%5C+%5Cboxed%7Ba%2Bb%3D2%2B3%3D5%7D)
3. Hallar el valor de n, sabiendo que el número N = 21·15^n tiene 20 divisores compuestos:
Descompones tu número como producto de factores primos:
![N=21\cdot15^n=3\cdot7\cdot(3\cdot5)^n=3\cdot7\cdot3^n\cdot5^n \\ =3^{n+1}\cdot7\cdot5^n N=21\cdot15^n=3\cdot7\cdot(3\cdot5)^n=3\cdot7\cdot3^n\cdot5^n \\ =3^{n+1}\cdot7\cdot5^n](https://tex.z-dn.net/?f=N%3D21%5Ccdot15%5En%3D3%5Ccdot7%5Ccdot%283%5Ccdot5%29%5En%3D3%5Ccdot7%5Ccdot3%5En%5Ccdot5%5En+%5C%5C+%3D3%5E%7Bn%2B1%7D%5Ccdot7%5Ccdot5%5En)
Calculas el número de divisores que tiene:
![(n+1+1)(1+1)(n+1)=(n+2)(2)(n+1) \\ =2(n^2+3n+2)=2n^2+6n+4 (n+1+1)(1+1)(n+1)=(n+2)(2)(n+1) \\ =2(n^2+3n+2)=2n^2+6n+4](https://tex.z-dn.net/?f=%28n%2B1%2B1%29%281%2B1%29%28n%2B1%29%3D%28n%2B2%29%282%29%28n%2B1%29+%5C%5C+%3D2%28n%5E2%2B3n%2B2%29%3D2n%5E2%2B6n%2B4)
Le restas los divisores que no son compuestos, en este caso son 1,3,5 y 7, que son 4 y lo igualas a 20:
![(2n^2+6n+4)-4=20 \\ 2n^2+6n=20 \\ n^2+3n=10 \\ n^2+3n-10=0 \\ (n+5)(n-2)=0 \\ n_1=-5 \\ n_2=2 (2n^2+6n+4)-4=20 \\ 2n^2+6n=20 \\ n^2+3n=10 \\ n^2+3n-10=0 \\ (n+5)(n-2)=0 \\ n_1=-5 \\ n_2=2](https://tex.z-dn.net/?f=%282n%5E2%2B6n%2B4%29-4%3D20+%5C%5C+2n%5E2%2B6n%3D20+%5C%5C+n%5E2%2B3n%3D10+%5C%5C+n%5E2%2B3n-10%3D0+%5C%5C+%28n%2B5%29%28n-2%29%3D0+%5C%5C+n_1%3D-5+%5C%5C+n_2%3D2)
Tomas la solución positiva:
n=2
Saludos!
Descompones a 420 como producto de factores primos:
Lo quieres multiplicar por 12 "x" veces para que ese número tenga 180 divisores:
Para calcular sus divisores debes sumarle 1 al exponente y multiplicarlos entre si:
Quieres que el número de divisores sea 180:
Tomas la solución positiva: x=3
Esto quiere decir que debes multiplicar 3 veces a 420 por 12 para que tenga 180 divisores
2. Calcular (a+b), si el numero N =36^a·5^b tiene 96 divisores compuestos
Descompones tu número como producto de factores primos:
Calculas su número de divisores sumando 1 a los exponentes y multiplicándolos entre sí:
Al número de divisores le restas los divisores que no son compuestos, que en este caso son 1, 2, 3 y 5; es decir, le restas 4 y lo igualas a 96 que es la cantidad de divisores compuestos que quieres tener:
Aquí debes analizar dos cosas:
(2a+1)² puede ser 5² ó puede ser 2²
Pruebas con 2²:
(2a+1)² = 2²
2a+1 = 2
2a = 1
a = 1/2
Pero "a" debe ser un número natural, entonces tomas la otra opción:
3. Hallar el valor de n, sabiendo que el número N = 21·15^n tiene 20 divisores compuestos:
Descompones tu número como producto de factores primos:
Calculas el número de divisores que tiene:
Le restas los divisores que no son compuestos, en este caso son 1,3,5 y 7, que son 4 y lo igualas a 20:
Tomas la solución positiva:
n=2
Saludos!
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sale 2 arriba ya te ayudaron además yo no sabía solo te doy la respuesta
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-Al multiplicar por 33 al numeral: A=21.〖11〗^n, se duplica su cantidad de división .hallar n.
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-hallar el valor de n, sabiendo que el numero N=21.〖15〗^n tiene 20 divisores compuestos