Question

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Answer 1

1. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al número 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores?
Descompones a 420 como producto de factores primos:
$420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7$

Lo quieres multiplicar por 12 "x" veces para que ese número tenga 180 divisores:
$2^2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot12^x=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot3^x\cdot(2^2)^x= \\ 2^{2x+2}\cdot3^{x+1}\cdot5\cdot7$ 

Para calcular sus divisores debes sumarle 1 al exponente y multiplicarlos entre si:
$(2x+2+1)(x+1+1)(1+1)(1+1)= \\ (2x+3)(x+2)(2)(2)=4(2x+3)(x+2) \\ 4(2x^2+7x+6)= \\ 8x^2+28x+24$

Quieres que el número de divisores sea 180:
$8x^2+28x+24=180 \\ 8x^2+28x-156=0 \\ 2x^2+7x-39=0 \\ (2x+13)(x-3)=0 \\ x_1=-13/2 \\ x_2=3$

Tomas la solución positiva: x=3
Esto quiere decir que debes multiplicar 3 veces a 420 por 12 para que tenga 180 divisores


2. Calcular (a+b), si el numero N =36^a·5^b tiene 96 divisores compuestos 
Descompones tu número como producto de factores primos:
$N=36^a\cdot5^b=(6^2)^a\cdot5^b \\ =6^{2a}\cdot5^b=(3\cdot2)^{2a}\cdot5^b \\ =2^{2a}\cdot3^{2a}\cdot5^b$

Calculas su número de divisores sumando 1 a los exponentes y multiplicándolos entre sí:
$(2a+1)(2a+1)(b+1)$

Al número de divisores le restas los divisores que no son compuestos, que en este caso son 1, 2, 3 y 5; es decir, le restas 4 y lo igualas a 96 que es la cantidad de divisores compuestos que quieres tener:
$(2a+1)(2a+1)(b+1)-4=96 \\ (2a+1)(2a+1)(b+1)=100 \\ (2a+1)^2(b+1)=100=5^2\cdot2^2$

Aquí debes analizar dos cosas:
(2a+1)² puede ser 5² ó puede ser 2²

Pruebas con 2²:
(2a+1)² = 2²
2a+1 = 2
2a = 1
a = 1/2

Pero "a" debe ser un número natural, entonces tomas la otra opción:
$(2a+1)^2=5^2 \\ 2a+1=5 \\ 2a=4 \\ \boxed{a=2} \\ \\ b+1=2^2\\b+1=4 \\ \boxed{b=3} \\ \\ \boxed{a+b=2+3=5}$

3. Hallar el valor de n, sabiendo que el número N = 21·15^n tiene 20 divisores compuestos:
Descompones tu número como producto de factores primos:
$N=21\cdot15^n=3\cdot7\cdot(3\cdot5)^n=3\cdot7\cdot3^n\cdot5^n \\ =3^{n+1}\cdot7\cdot5^n$

Calculas el número de divisores que tiene:
$(n+1+1)(1+1)(n+1)=(n+2)(2)(n+1) \\ =2(n^2+3n+2)=2n^2+6n+4$

Le restas los divisores que no son compuestos, en este caso son 1,3,5 y 7, que son 4 y lo igualas a 20:
$(2n^2+6n+4)-4=20 \\ 2n^2+6n=20 \\ n^2+3n=10 \\ n^2+3n-10=0 \\ (n+5)(n-2)=0 \\ n_1=-5 \\ n_2=2$

Tomas la solución positiva:
n=2

Saludos!

Answer 2

Respuesta:

sale 2 arriba ya te ayudaron además yo no sabía solo te doy la respuesta